Dowód (e^x)' Maslanek: Dowód pochodnej e^x. Witam! Jeśli mógłbym prosić o dowodzik Przy czym nie zachwyci mnie dowód (e^x)' = e^x*lnx=e^x

Artur ..... : dowód nie ma 'dowodu' jest liczenie pochodnej z definicji:

	ex+h − ex		ex(eh−1)		eh−1
lim		= lim		= ex * lim (		) = ex * 1
	h		h		h

ICSP: robisz to z definicji tak jak pokazał Artur. Jednak trzeba jeszcze pokazać ze :

	eh − 1
lim		= 1
	h

h→0

Maslanek: No właśnie I o tą część mi chodzi. Bo samo wyjście z definicji to bułka z masłem Ale policzenie granicy?

MQ: Skorzystaj z rozwinięcia e^h w szereg

Artur_z_miasta_Neptuna:

	eh − 1
limh−>0		= // eh − 1 = z ; h = ln(z+1) ... h−>0 ; z−>0 // =
	h

	z		1
= limz−>0		= limz−>0		=
	ln(z+1)		(1/z) *ln(z+1)

	1
= limz−>0		= (*)
	ln (z+1)(1/z)

	1
// limz−>0 ln (1+z)1/z = limz−>0 ln (1+		)1/z = (**)
	1   z

	1
podstawienie: w =		; z−>0 to w−>∞
	z

	1
(**) = limw−>∞ ln [ (1+		)w] = ln (e1) = 1 //
	w

	1
(*) =		= 1
	1

ot taka cudna granica ale zapewne wykładowca podałby wam po prostu, że:

	eh −1
limh−>0		= 1 i tyle
	h

AC:

	eh − 1
limh→0		=....
	h

podstawiamy e^h − 1=ε i widać gdy h→0 to ε →0

	ε		1
....=limε→0		=limε→0		= ....
	ln(1+ε)		ln(1+ε)1/ε

z ciągłości funkcji ln

	1		1
....=		=		= 1
	lnlimε→0(1+ε)1/ε		lne

Basia: to tylko wstęp do dowodu, ale dobrze pokazuje o co chodzi

	eh−1
jeżeli limh→0		istnieje to na mocy definicji Heinego
	h

dla każdego ciągu a_n→0 prawdą jest, że

	ean−1		eh−1
limn→+∞		= limh→0
	an		h

	1
no to weźmy ciąg an =
	n

e = lim_n→+∞ (1+¹_n)ⁿ i mamy

	eh−1		[(1+1n)n]1/n −1
limh→0		= limn→+∞		=
	h		1   n

	1+1n−1
limn→+∞		= 1
	1   n

teraz należałoby pokazać, że tak jest dla każdego ciągu a_n→0 wtedy na mocy def.Heinego będziemy mieć dowód tego co trzeba spróbuj pokombinować jeżeli sam nie wymyślisz napiszę

Godzio: Można też tak: (MQ to zaproponował) e^h = 1 + h + o(h)

	1 + h + o(h) − 1		o(h)
exlimh→0		= exlimh→0(1 +		) = ex(1 + 0) = ex
	h		h

Maslanek:

eh−1		1   (1+ )1/h*h−1   1/h		1   1+ −1   1/h		1/h		1
	=		=		=		=
h		h		h		h		h2

Gdzie jest błąd?

b.: w takiej sytuacji trzeba zapytać, co to jest e^x? czy to jest jakaś liczba e do potęgi x? a jeśli tak, to co to jest e?

Maslanek: Zdecydowanie jest to e do potęgi x.

	1
Jednocześnie e to granica nieskończonego ciągu postaci (1+		)x
	x

Basia: gdzie x→+∞

	1
to zapisz e = limh→0 (1+		)1/h = limh→0(1+h)1/h
	1h

masz prawo ?

AC: Maslanek w liczniku masz

	1
1 +		−1 = h
	1/h

i jak podzielisz przez h to dostaniesz 1

Artur_z_miasta_Neptuna: Maslanek otrzymałeś:

1   1/h		h   1*   1		h
	=		=		= 1
h		h		h

Maslanek: Nie mam prawa