oblicz granice Qba.: (2³ⁿ⁺¹+3²ⁿ⁻¹):(2³ⁿ⁻¹−3²ⁿ⁺¹)

Qba.: lim n→∞

aniabb: podziel góra dół przez 9ⁿ

ZKS:

1   2 * 8n + * 9n   3
	=
1   * 8n − 3 * 9n 2

8   1   2 * ( )n +   9   3
1   8   * ( )n − 3 2   9

	8   1   2 * ( )n +   9   3		1   3		1
limn → ∞		=		= −
	1   8   * ( )n − 3 2   9		−3		9

ZKS: Przepraszam ale nie widziałem Twojego wpisu aniabb.

Qba.:

	8
Skąd się wzięło te (		)n ?
	9

aniabb: podziel góra i dół przez 9ⁿ

Qba.: taka odpowiedz "podziel góra i dół przez 9ⁿ" nic nie daje komus kto dopiero sie uczy tego, ale dziekuje ZKS za rozpisanie, juz doszlem skad sie to wzielo

Qba.: mam kolejny przyklad: lim_n→∞(2n−√4n²+2n+1)

ZKS:

	a2 − b
a − √b =
	a + √b

gdzie a = 2n oraz b = 4n² + 2n + 1. Jak będziesz miał jakieś wątpliwości pisz.

aniabb: rozszerzasz ułamek o (2n+√4n²+2n+1)

(2n−√4n2+2n+1)(2n+√4n2+2n+1)
	na górze wzór skróconego mnożenia
(2n+√4n2+2n+1)

4n2−4n2−2n−1		−2n−1
	=		wyciągasz n przed nawias
(2n+√4n2+2n+1)		(2n+√4n2+2n+1)

n(−2−1/n)
n(2+√4+2/n+1/n2)

(−2−1/n)
	lim = −2/4 = −1/2
(2+√4+2/n+1/n2)

aniabb: tym razem odwrotnie

ZKS: Miałem już nie pisać a jednak napisałem.

aniabb: chyba stworzę parę gotowców .. bo już zaczyna być monotonne

Qba.: lim_x→∞ x(e^1/x−1)

aniabb: hospitalem

aniabb: ZKS teraz Twoja kolej

ZKS: Miałem już nie pisać więc chyba przy tym postanowieniu pozostanę.

ZKS:

e1/x − 1		1   − e1/x   x2
	= H =		= e1/x
1   x		1   −   x2

lim_{x → ∞} e^1/_x = e⁰ = 1

ZKS: Głowy nie daję za to co napisałem.

aniabb: dzięki bobym pomyliła pochodną z całką cale wynik i tak byłby dobry

aniabb: ale ja potwierdzam

ZKS: Jeżeli potwierdzasz to się cieszę że nigdzie nie napisałem głupoty jak ostatnio.

aniabb: mnie wykańcza ten edytor ..i ciągła zmiana klawiatury (jednego dnia na 3 piszę ) więc co się oklikam...

ZKS: Ja kiedyś jak tu zaczynałem to też było ciężko ale później się przyzwyczaiłem.

aniabb: po ilu latach

ZKS: Po ilu latach się przyzwyczaiłem do tego edytora?

aniabb: niom

ZKS: Po 2 miesiącach może 3 już w miarę potrafiłem pisać.

aniabb: mi utrudniają jeszcze klawiatury no to pewnie będzie ze 2 lata

ZKS: Ee tam zobaczysz jak szybko to ogarniesz nawet nie będziesz wiedziała kiedy.

ZKS: Dobra ja idę także .

aniabb: oo faktycznie.. czas kończyć pracę i do domku na weeekeeend

qba.:

	sin3x
limx→0
	e2x−1

lim_x→0 (1+3tg²x)^ctg2x

ZKS:

	sin(3x)		2x		3		3
limx → 0		*		*		=
	3x		e2x − 1		2		2

ZKS:

	3tg2(x)
limx → 0		= 3
	tg2(x)

g = e³

qba.: mozesz ten przyklad z sinusem jakos bardziej rozpisac?

ZKS: Jak rozpisać bardziej? Napisz o co chodzi bo nie rozumiem?

qba.:

	2x
w polowie juz rozumiem, tylko nie wiem jeszcze czemu		=1, nie moge takiego wzoru
	e2x−1

w tablicach znalezc

ZKS:

	sin(ax)
A wiesz czemu limx → 0		= 1?
	ax

ZKS: Podaję przydatne granicę.

	sin(x)
limx → 0		= 1
	x

	ax − 1
limx → 0		= ln(a) gdzie a > 0
	x

	loga(1 + x)
limx → 0		= logae gdzie 0 < a ≠ 1
	x

	a
limx → ±∞ (1 +		)x = ea
	x

lim_{x → 0} (1 + x)^1/_x = e

	tg(x)
limx → 0		= 1
	x

	ex − 1
limx → 0		= 1
	x

	ln(1 + x
limx → 0		= 1
	x

	1
limx → ±∞ (1 +		)x = e
	x

	(1 + x)a − 1
limx → 0		= a
	x

qba.:

	2x
rozumiem, ze te		=1 jest z 7 wzoru, ktore podales? czyli jak np. bede mial
	e2x−1

	x
		to tez bedzie rowne 1?
	sinx

ZKS:

	x
Nie wiem który to wzór ale tak limx → 0		= 1.
	sin(x)

qba.: wyznaczyc funkcje odwrotna: f(x)= log₂(3^x+1) f(x)=3^1_x−2 f(x)=√log_¹3x

qba.: jak nie widac to potega w drugim przykladzie to 1/x, a w trzecim przykaldzie podstawa log jest 1/3

ZKS: Następne identyczne. y = log₂(3^x + 1) ⇒ 3^x + 1 = 2^y ⇒ 3^x = 2^y − 1 ⇒ x = log₃(2^y − 1)

qba.: w 2 przykladzie x=1/(log₃(y+2))? w 3 przykladzie x=(1/3)^2y?

ZKS: 2. 3. źle

	1
log1/3(x) = y2 ⇒ x = (		)y2
	3

qba.: powiedz mi jeszcze jak sprawdzic roznowartosciowosc funkcji

qba.: czy musze znac do tego wykres czy moge to zrobic bez wykresu?

ZKS: Jeżeli x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂).

ZKS: Nie trzeba znać aby to stwierdzić.

qba.: czyli f(x)=x² jest roznowartosciowa?

ZKS: A według Ciebie nie jest czy jest różnowartościowa?

qba.: wedlug tego co podales to jest, ale jest jeszcze taki punkt: jezeli funkcja f jest roznowartosciowa, to kazda prosta y=m (m∊R) ma co najwyzej jeden punkt wspolny z wykresem... i z tego wynika, ze nie jest, bo dla m>0 ma wszedzie 2 pkt wspolne.

ZKS: Co? Według tego co podałem to funkcja kwadratowa jest różnowartościowa?

ZKS: f(x₁) ≠ f(x₂) x₁² ≠ x₂² (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) ≠ 0 ⇒ x₁ ≠ x₂ z założenia lecz x₁ = −x₂ więc funkcja nie jest różnowartościowa.

qba.: jezeli x₁=1 a x₂=2 to x₁≠x₂ f(x₁)=1, f(x₂)=4 to f(x₁)≠f(x₂) wiec oba warunki sa spelnione

ZKS: Jeżeli x₁ = 1 a x₂ = −1 to x₁ ≠ x₂ a f(x₁) = f(x₂). Przecież Ty teraz tylko sprawdzasz dla kilku argumentów a nie dla wszystkich.

qba.: czyli te x₁ i x₂ musze wybrac przeciwne?

qba.: wiec jak ma byc?

qba.: odpowie ktos?

ZKS: Wystarczy że znajdziesz dwa różne argumenty które dadzą taką samą wartość wtedy udowodnisz tylko że musisz je najpierw znaleźć a jak sam wcześniej pokazałeś nie mogłeś dobrać takich argumentów. Jeżeli masz łatwą funkcję można bez problemu znaleźć te właściwe argumenty lecz może się zdarzyć że będziesz miał funkcję różnowartościową i wtedy nigdy nie znajdziesz różnych argumentów które dadzą tą samą wartość.

qba.: czyli tak jak mowilem, musze znac wykres funkcji i wiedzic czy jakas prosta jest styczna w 2 miejscach

ZKS: Nie musisz jeszcze raz Ci piszę wystarczy że udowodnisz że x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) tak jak pokazywałem.

qba.: jak nie..., bez wykresu to musisz liczyc wszystkie mozliwe kombinacje, tak jak w tej funkcji kwadratowej wybrales od razu x₁=1 i x₂=−1, bo znasz wykres i wiesz, ze w tych miejscach wartosc jest taka sama, czemu nie wybrales np. x₁=1 i x₂=2 albo czegos innego?

ZKS: Przecież udowodniłem to wyżej. f(x₁) ≠ f(x₂) x₁² ≠ x₂² (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) ≠ 0 ⇒ x₁ ≠ x₂ z założenia lecz x₁ = −x₂ więc funkcja nie jest różnowartościowa. Nic nie szukałem tylko stąd wiem że dla przeciwnego argumentu będę miał tą samą wartość z dowodu. Na przykład inna funkcja: f(x) = x² − 4x + 5 zał x₁ ≠ x₂ x₁² − 4x₁ + 5 = x₂² − 4x₂ + 5 (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) − 4(x₁ − x₂) = 0 (x₁ − x₂)(x₁ + x₂ − 4) = 0 ⇒ x₁ = x₂ (sprzeczność z założeniem) natomiast x₁ = −x₂ + 4 więc funkcja nie jest różnowartościowa. Teraz z dowodu widać że liczba przeciwna i powiększona o 4 da tą samą wartość. Sprawdźmy to: x₁ = 1 ⇒ x₂ = −1 + 4 = 3 f(1) =1² − 4 * 1 + 5 = 2 f(3) = 3² − 4 * 3 + 5 = 2 Więc się zgadza. Rozumiesz to wreszcie?