Wzajemnie położenie dwóch płaszczyzn - help ;/ Zmęczony człek : treść zadani: Napisać równanie płaszczyzny zawierającej os OZ i tworzącej z płaszczyzną β:2x + y + 2√5 −1 = 0, kąt o mierze π/3

Artur_z_miasta_Neptuna: jako że kompletnie nie pamiętam wzorów (które z pewnością sprawiają, że zadanie się robi szybko) to napiszę, jakbym wyszedł z tego problemu. 1) zauważam że płaszczyzna β jest prostopadła do płaszczyzn π_xy 2) z tego powodu dalsze rozważania można sprowadzić do rozważań w R² 3) w tym momencie oś OZ jest sprowadzona do punktu (0,0) w układzie współrzędnym (x,y) 4) płaszczyzna β natomiast jest to prosta o równaniu 2x + y + 2√5 −1 = 0 5) rysuję prostą β 6) wyznaczenie prostej α, która przechodzi przez punkt (0,0) i tworzy kąt 60^o z prostą β nie jest już trudnym zadaniem 7) otrzymane równianie prostej α jest równocześnie równaniem płaszczyzny koniec zadania

Artur_z_miasta_Neptuna: lub .... można: 1) Wyznaczyć normalną płaszczyzny β 2) Normalna płaszczyzny α będzie miała współrzędne (x,y,0) −−− tylko wtedy płaszczyzna α ma prawo zawierać oś OZ 3) płaszczyzny będą nachylone względem siebie pod kątem 60⁰ ... jeżeli normalne będą nachylone względem siebie pod kątem 180−60 = 120^o (wynika to z sumy kątów wewnętrznych czworokąta) 4) obliczam iloczyn skalarny wektorów normalnych przy założeniu z punktu (3) 5) potrzebuję jeszcze drugie równanie , np., że płaszczyzna α musi zawierać punkt (0,0,0) wyznaczam x,y wektora normalnego płaszczyzny α ... i stąd mam równanie płaszczyzny α (chyba )

Agu: czyli... równaniem płaszczyzny α, z którego będziemy korzystać, będzie α: 0*A + 0*B + Cz + D = 0 α: Cz + D = 0 tak więc robię wektory normalne z płaszczyzn: α −> n = [0,0,C] β −> n = [2,1,2√3] i dalej podstawiam do wzoru, i mi wyjdzie.. tak?

Artur_z_miasta_Neptuna: nie ... A*x + B*y + 0*z + 0 = 0 (D=0 ... aby płaszczyzna zawierała (0,0,0))

Agu: bo początkowo robiąc to zadanie wyszło mi że wektor od płaszczyzny α ma współrzędne [A,B,0] ale poźniej po użyciu wzoru, obliczeniach się zaczęło za bardzo zagmatwać. ale po tej odpowiedzi mam zamęt już w głowie ; p bo istnieje taki przydatny wzór: | n1 ◯ n2 | cosς = −−−−−−−−−−−−−−− |n1| * |n2|

Artur_z_miasta_Neptuna: o 23:51 napisałem jasno .... wektor normalny π_α ma postać (A,B,0) więc dobrze myślałaś proponuję spróbować metodą z 23:44

Artur_z_miasta_Neptuna: po drugie ... N_β ile Ci wyszedł I niby z jakiej racji tyle

Agu: no to moje zadanie wyszło tak: α: Ax + By = 0 n = [A,B,0] β: 2x + y + 2√5 −1 n = [2,1,2√5] wstawiając do wzoru powychodziło mi dalej: 1 | 2A + B | −−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2 √A² + B² * √10 na lekcji w innych przykładach dochodziliśmy do tego żeby np. A = ileś tam B ale tutaj wychodzą wzory skróconego mnożenia... da się to inaczej rozwiązać?

Artur_z_miasta_Neptuna: czemu ostatnia współrzędna to 2√5 skoro nie ma współrzędnej 'z' we wzorze płaszczyzny β

Agu: aaa. bo już widze bład w moim zapisie dla Ciebie. tam zamiast 2 kolega mój się pomylił. powinno być z. czyli 2x + y + z√5 −1 n = [2,1,√5]

Artur_z_miasta_Neptuna: |2A+B| = √4A²+B² |n₁|*|n₂| = √A²+B²*2 czyli:

1		√4A2+B2
	=
2		2√A2+B2

2√A²+B² = 2√4A²+B² √A²+B² = √4A²+B² A²+B² = 4A²+B² (ponieważ A²+B² oraz 4A²+B² > 0) 3A² = 0 A=0 B= ... ile

Artur_z_miasta_Neptuna: a no ejjj ... no to mój pierwszy wywód (taki piękny) niestety się nie sprawdził

Artur_z_miasta_Neptuna: to wtedy |n₂| = √4+1+20 = √25 = 5 i wyjdzie że A² = ileś tam B²

Artur_z_miasta_Neptuna: kurde dobra: |n₂| = √10 czyli: √10√A²+B² = 2*√4A² + B² czyli: 10A²+10B² = 16A² + 4B² 6B² = 6A² A² = B²

Artur_z_miasta_Neptuna: i chyba w końcu dobrze ... jak myślisz

Agu: skąd to 20? jeżeli n2 = [2,1,√5], więc jego długość... √4+1+5 = √10

Artur_z_miasta_Neptuna: było to 20 z tego ... że nadal traktowałem 2√5 zamiast √5 ... poprawiłem się później

Agu: √4A² + B² − skąd tą wartość brałeś? bo z wzoru w liczniku jest iloczyn skalarny tych wektorów w wartości bezwzględnej...

Zmęczony człek : dzieki za szybką odpowiedz i przepraszam najmocniej za moj bład − Agu ma racje miało byc z

Zmęczony człek : kolega napisał ze wyszło mu x+3y = 0 i 3x−y = 0 ale nie mam pojęcia jak do tego doszedł