ciagi ograniczenia Pepsi2092: Zbadać czy podane ciągi ograniczone są z góry:

	1
en=(1+		)n
	n

	1		1		1
fn=1+		+		+...+
	2		3		n

Godzio: e_n − ograniczony f_n − nie

Basia: Godziu a pamiętasz jak się dowodziło, że e_n < 3 ? nie mogę sobie przypomnieć

Pepsi2092: a jak to sprawdzić i jak dojść do tego dla jakiego M jest e_n ograniczony?

Godzio:

1

n 1

1

n 2

1

n n

1

(1 +

)n = 1 +

*

+

*

+ ... +

* (

)n =

n

n

n

n

	1		n(n − 1)		1		1		n(n − 1)...1
= 1 + n *		+		*		+ ... +		*		=
	n		2!		n2		n)!		nn

	1		n(n − 1)		1		n(n − 1)...1
= 1 + 1 +		*		+ ... +		*		<
	2!		n2		(n − 1)!		nn

	1		1		1		1		2
< 2 +		* (1 −		) +		* (1 −		)(1 −		) + ... +
	2!		n		3!		n		n

	1		1		2		n − 1
+		(1 −		)(1 −		)...(1 −		) <
	n!		n		n		n

	1		1		1
< 2 +		+		+ ... +		+ U{1}{n!
	2!		3!		(n − 1)!

Zauważmy dodatkowo, że n! > 2^{n − 1} dla n ≥ 3

	1		1		1		1
... < 2 +		+		+ ... +		= 2 + 1 −		< 3
	2		22		2n − 1		2n

Godzio: Wolno mi to szło bo nie chciałem się pomylić A co do b) to wpisz sobie w googlach szereg harmoniczny, tam powinno być pokazane, dlaczego nie jest to ograniczone.

Godzio:

	n		1
W pierwszym wierszu:		*		(później jest już ok)
	2		n2

Godzio: Kurde, ale i tak widzę, że narobiłem takich mini błędów ...

	1		1
3 linijka na końcu:		, a nie
	n!		(n − 1)!

Pepsi2092: Okey, dzięki wielkie Godzio