Jeśli a+b=1 to udowodnij że... Karol: Jeżeli a+b=1 to udowodnij że a³+b³=1/4. Może ktoś potrafi mi pomóc? Pozdrawiam.

Karol: dodam że rozpisałem to w taki sposób że a³+b³=(a+b)³ − (3a²b + 3ab²) i rozpisujac to w ten sposob doszedlem do postaci 3b²−3b+1... i nie do końca wiem co dalej, proszę o pomoc.

sushi_ gg6397228: 3a²b+3ab²= 3ab(a+b) i teraz musisz "wykombinowac" a*b =...

Karol: Wkradł się maly błąd gdyż chodziło o znak a³+b³≥1/4. Ponadto zrobiłem to już w taki sposób że do tego co napisałeś dokombinowałem a z a+b=1 dzięki czemu dostałem właśnie f.cję kwadratową 3b²−3b+1 która zresztą nie ma miejsc zerowych i jej wartości są nieujemne. Zatem podstawiłem ową funkcję do nierówności i otrzymałem że 3b²−3b+3/4≥0 a dalej to już formalność. Ale wielkie dzięki za chęci i pomoc.

sushi_ gg6397228: na zdrowie

irena_1: Można też tak:

	1		1		1		1
Jeśli a=b=		, to a3+b3=		+		=
	2		8		8		4

	1
Jeśli a ≠		, to przyjmujemy:
	2

	1		1		1
a=		−x i b=		+x, gdzie 0< x <
	2		2		2

Wtedy:

	1		1
a3+b3=(		−x)3+(		+x)3=
	2		2

	1		3		3		1		3		3
=		−		x+		x2−x3+		+		x2+		x+x3=
	8		4		2		8		4		2

	1		1
=		+3x2 >
	4		4

Eta: a+b=1 ⇒ a=1−b a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) = 1*(a²+2ab+b² −3ab)= (a+b)² −3ab= 1−3ab

	1		3		3
1−3ab ≥		⇒		−3(1−b)*b ≥0 ⇒		−3b+3b2≥0
	4		4		4

3
	(1−4b+4b2)≥0
4

3
	(2b−1)2≥0
4

c.n.u

Vax:

	(a+b)3
a3+b3 ≥		⇔ 4(a3+b3) ≥ (a+b)3 ⇔ a3+b3 ≥ a2b+ab2 ⇔ (a+b)(a−b)2 ≥ 0
	4

Eta:

Eta: @Vax Bardziej szczegółowo rozpisz i otrzymasz dwie linijki dowodu