Szeregi Basiek: Szeregi. Bry! Mam taki szereg i niestety... nie wiem, nie umiem. Prosiłabym o pomoc.

	1
∑		=
	√n+√n+1

*d'Alembert mi tu nie pasuje, Cautchy też jakoś nie bardzo. I stawiam na porównawcze, ale tego kryterium raczej... nie umiem. Wydaje mi się, że szereg jest zbieżny i nalezy go ograniczyć przez większy ZBIEŻNY. Aczkolwiek po prostu... nie znam takiego, nie wiem, jak to zrobić, jak to ruszyć, ani z czym zjeść. Dziękuję.

Basiek: Naprawdę proszę.

sushi_ gg6397228:

	1
a jak masz ∑		to bedzie ....
	√n

Basiek: Harmoniczny rzędu α=1/2 Rozbieżny! Dziękuję. Bardzo.

sushi_ gg6397228: limes (n+√n +1 ) = lim n =..... wiec zawsze "dodatki" mozna sobie zasłonić "palcami"

Basiek: Tego to już nie rozumiem, ale... Ale rozumiem odpowiedź do przykładu. Wszystko jaśniutkie jak słoneczko!

Basia: witaj Basiek n+√n+1 < n+n+1 < 2n+1 ≤ 2n+n = 3n ⇒ √n+√n+1 < √3n = √3*√n < √3*n ⇒

	1		1		1		1
∑		> ∑		=		*∑
	√n+√n+1		√3*n		√3		n

	1
a ∑		to szereg harmoniczny rozbieżny
	n

Basiek: Basiu− witaj, dziękuję, takie pytanko, czy to jest taka 'metoda', którą stosuje się, przy tym kryterium, czy po prostu taki sposób 'kombinowania'? Nie pogardziłabym jakąś gotową metodą, więc jeśli to byłaby takowa...

Basia: to się nazywa "kryterium porównawcze"; polega głównie na kombinowaniu

Basiek: Kryterium porównawcze jako tako znam, a sam fakt kombinowania w nim− bardzo mi 'nie leży'; chociaż w moim przypadku polega głównie na tym, żeby ograniczyć szeregiem harmonicznym lub geometrycznym (o tyle trudne, że ja tego 'nie widzę'). Dziękuję bardzo.

Krzysiek: Zamiast bawić się z ograniczeniami od góry/dołu można skorzystać z kryterium ilorazowego i wtedy od razu wiemy czy szereg jest zbieżny/rozbieżny.

Basiek: Krzysiek− możliwe, że ja czegoś nie widzę, ale wydaje mi się, że po skorzystaniu z kryt. Cautchy'ego wychodzi mi g=1, które NIE określa nam niczego... Ale może mi się tylko wydawać.

Krzysiek: Tzn mi chodzi o to kryterium(nie wiem czy je poznałaś, ogólnie lepiej się korzysta z ilorazowego niż z porównawczego ): http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w#Kryterium_ilorazowe_.28nazywane_te.C5.BC_kryterium_por.C3.B3wnawczym_w_postaci_granicznej.29

	1
w tym przykładzie dobieramy ciąg: bn =
	√n

b.: żeby stosować kryterium porównawcze (choć zwykle łatwiej ilorazowe), dobrze jest się umieć zorientować, z czym porównywać. Tutaj mamy w mianowniku (jeśli dobrze czytam): √n + √n+1 No to tak 'intuicyjnie', dla dużych n: * n+1 jest tego samego rzędu co n, więc całość jest tego rzędu co √n + √n * √n jest mniejszego rzędu niż n, więc całość jest rzędu √n

	1		C
wniosek: w kryterium ilorazowym weź bn =		. Albo w porównawczym bn =		dla
	√n		√n

odpowiednio dobranego C (tutaj C=1 wystarczy).

b.: (oczywiście te 'intuicyjne' obserwacje zachowujemy normalnie dla siebie, nie piszemy ich raczej w rozwiązaniu )

Basiek: Krzysiek− niestety nie znam. A że jutro mam kolokwium i mam (mało powiedziane) misz−masz w głowie, to zwyczajnie daruję sobie kolejne kryterium, bo to więcej mi to przyniesie szkody, niż pożytku, ale dzięki. b− analizuję. Może coś z tego będzie− dziękuję.

Basiek: b− jednak nie, nie rozumiem tego zdania: "* n+1 jest tego samego rzędu co n, więc całość jest tego rzędu co √n+√n. Nie jestem w stanie zrozumieć tej implikacji.

sushi_ gg6397228:

	wielomian 1
jak liczysz granice		to wazne sa tylko x z najwyzszymi potegami
	wielomian 2

w liczniku i mianowniku; reszte mozemy "pominac" tak samo masz tutaj

sushi_ gg6397228:

	5x7 + 4x4+ 7		5x7
limes		= limes		=...
	x6 + 5x5+6x3+ 2		x6

Basiek: =∞ dla x→∞ To rozumiem.

Basia: chodzi o najwyższy stopień (potęgę) n²+C jest tego samego rzędu co n² n²+n+C jest tego samego rzędu co n² n+C jest tego samego rzędu co n √n+C jest tego samego rzędu co √n n+√n+C jest tego samego rzędu co n+√n a to jest tego samego rzędu co n

Basiek: Basiu− dobra rozpiska, dzięki. Hm, już rozumiem. Po prostu nie zostało mi nigdy przedstawione, co znaczy, że coś 'jest rzędu jakiegoś tam'. Pojawiło się ostatnio przy szeregach harmonicznych, ale w formie... chyba baaardzo skróconej i chyba sobie zły obraz tego wyrażenia w głowie wyrobiłam. Aczkolwiek już zaczynam łapać. Dzięki!

Basiek: I tu wszystko wydaje się kolorowo..., ale nagle przychodzi ograniczyć mi coś takiego:

	5n−1
∑		i...
	nn

nie mam pojęcia. Co więcej− może mnie ktoś oświecić, co do rzędu mianownika? (rząd n?)

sushi_ gg6397228: zasłoń −1 w liczniku i masz ...

Basia: 5ⁿ−1 < 5ⁿ

5n−1		5n
	<		= (5n)n
nn		nn

	5		1
dla każdego n>10		<
	n		2

	5n−1		5i−1
∑		< ∑i=1...10		+ ∑n=6.... (12)n <
	nn		ii

(jakaś liczba skończona) + ∑(¹₂)ⁿ

Basia: od n=11 miało być to drugie ∑

Krzysiek: Basia, a to nie prościej z kryterium Cauchy'ego ?

Basiek: Można dodawać sobie te szeregi w tym kryterium?

Basia: Krzysiek prościej Basiek można łączyć kryteria

	5n−1		5n
∑		< ∑
	nn		nn

	5n		5
n√		=		→ 0
	nn		n

	5n
czyli na mocy kryterium Cauchy'ego ∑		jest zbieżny ⇒
	nn

	5n−1
na mocy porównawczego ∑		też
	nn

Basiek: O matko... Nie no, ten porównawczy mi naprawdę nie podchodzi. Mimo szczerych chęci i dobrych zamiarów. Mam nadzieję, że będzie tylko jeden taki przykład, więc będę mogła to jakoś przeboleć. Chyba lepiej się skupić na czymś, co w jakimś stopniu rozumiem. Aczkolwiek już trochę 'jaśniej' i te bardzo proste przykłady jestem w stanie zrobić, a to już dużo. Dziękuję.