wielomiany problem Roman: Mam mały proble:Wykaż, że nie istnieje parametr m taki, że funkcja f okreslona wzorem jest wielomianem drugiego stopnia. f(x)=x³−mx²+x+12/x−4 dla x∊R \{4} m dla x = 4 to tak najpierw sobie podzieliłem hornerem i wyszlo ze dla m=5 funkcja wymierna dzieli sie przez x−4 i co dalej wychodzi ze jest jednak wielomian stopnia 2 jak podzile czy dzielić nie mogę bo x rózne od 4

Nienor: Nie istnieje taki parametr m dla którego ta funkcja jest stopnia drugiego.

Kejt: ładne uzasadnienie

Roman: no własnie dlaczego nie istnieje jak zaargumentować

Nienor: nie ma parametru przy x³, więc x³ zawsze w tej funkcji będzie występować, a jeśli będzie, to wielomian będzie stopnia trzeciego. Oj tam nie zuważyłam tego nie

Roman: f(x)=(x3−mx2+x+12)/x−4 dla x∊R \{4} m dla x = 4

Roman: sory maly blad zapomnialem o nawiasie Sorki

Roman: f(x)=(x3−mx2+x+12)/(x−4) dla x∊R \{4} m dla x = 4 teraz jest Good

Daras :D: No a już maiłem rozwiązane Panie Romanie ale z tymi nawiasami mi utrudniłeś muszę na tym trochę pomyśleć .....hhhmmmmmm.....

Roman: no bez nawiasów to banał , sorry za lekki spam

Nienor: Czyli:

	x3−mx2+x+12
W(x)=
	x−4

W(x) jest stopnia drugiego tylko wtedy jeśli 4 jest pierwiastkiem wielomianu (z tw. Bezout'a wielomian P(x) jest podzielny przez dwumian x−a tylko gdy P(a)=0, a dzielenie wielomianu jest zmiejszaniem jego stopnia) P(x)=x³−mx²+x+12 P(4)=−16m+80=0 −16m=−80 m=5 sprawdzam: P(x)=x³−5x²+x+12=x³−4x²−x²+4x−3x+12=x²(x−4)−x(x−4)−3(x−4)=(x−4)(x²−x−3), czyli dla m=5

	(x−4)(x2−x−3)
W(x)=		=x2−x−3
	x−4

czyli gdzieś jest błąd.

Roman: tyle to i ja wiem

Nienor: No to udowadnia, że istnieje parametr m dla którego W(x) jest stopnia drugiego, czyli teza jest fałszywa.

Roman: ale ma byc prawdziwa rozumuj trochę głebiej mi się wydaje tez ze bła ale poczekajmy na wypowiedzi innych

Roman: Pomozecie

Basia: no przecież to co napisałeś, Nienor na początku to i prawda, i wystarczające uzasadnienie bo Roman napisał tak:

	12
f(x) = x3 −mx2 + x +		−4
	x

wiem, że ma być inaczej, ale trzeba pisać porządnie uniknie się błędnych, bo do innej funkcji odniesionych, odpowiedzi

aniabb: dziedziną jest R\{4} więc chyba ta x−4 jest w mianowniku

Basia:

	x3−mx2+x+12
f(x) =
	x−4

aby otrzymać w wyniku dzielenia wielomian st.2 4 musiałoby być pierwiastkiem W(x) = x³−mx²+x+12 W(4) = 4³−m*4²+4+12 = 0 64 − 16m + 16 = 0 16m = 80 m = 5 i dla m=5

	x3−5x2+x+12		(x−4)(x2−x−3)
f(x) =		=		= x2−x−3
	x−4		x−4

ale D_f = R\{4} natomiast dziedziną wielomianu jest R dlatego

	x3−5x2+x+12		(x−4)(x2−x−3)
f(x) =		=
	x−4		x−4

mimo wszystko wielomianem nie jest

Roman: ale czemu nie możesz podzielić przez x−4 bo np. normalnie sie dzieli takie coś np. (x²−1)/(x+1) dzieli i wszystko ok a tu nie mozemy i mamy drugi stopień i co

Basia: podzielić można

x2−1
	= x−1 ale tylko dla x∊R\{−1}
x+1

natomiast dziedziną W(x) = x−1 jest R i to jest ta subtelna różnica

Basia: U Ciebie f(x) = x²−x−3 ale tylko dla x∊R\{4} a dziedziną wielomianu W(x) = x²−x−3 jest R dlatego f(x) jednak wielomianem nie jest

Roman: no ale w moim przykladzie moge dzielic przez x−4 ten wielomian u góry przeciez jest dla x róznych od 4 wiec dziele i wychodze na wielomian stopnia drugiego a tego nie chce

Basia: dostajesz wynik: x²−x−3 dla x∊R\{4} a to nie jest wielomian

Roman: no ale w przykładzie (x²−1)/(x+1) tez dostaje wielomian x−1 dla R bez −1 a to nie jest tez wielomian?

Basia:

x2−1
	= x−1 dla x∊R\{−1} i to nie jest wielomian
x+1

bo dziedziną wielomianu jest R

Roman: poczekaj chyba juz rokmiłem

aniabb: W ogólności jednak dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną nie tworzy wielomianu. http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielomian

Basia: P.S. natomiast Twoje f(x) dla m=5 jest funkcją drugiego stopnia określoną na R\{4} tylko o dziedzinę tu chodzi

	(x−4)(x2−x−3)
dla f(x) =		= x2−x−3 f(4) nie istnieje
	x−4

dla wielomianu W(x) = x²−x−3 W(4) istnieje i = 16−4−3 = 9 na tym ta różnica polega

Jan: Basia ale ta funkcja dla x=4 przyjmuje wartość m więc na dobrą sprawę z tym R−{4} daje całe R ? Co Ty na to ?

Basia: f(4) nie istnieje bo d_f = R\{4} po coś Was chyba uczą jak się określa dziedzinę funkcji

Jan: Ale zadanie składało się jakby z dwóch funkcji f(x)=(x3−mx2+x+12)/(x−4) dla x∊R \{4} m dla x = 4

Basia: zadanie brzmiało: wykaż, że dla żadnej wartości m f(x) nie jest wielomianem st.2 a dlaczego nie jest wielomianem już 10 razy napisałam

Roman: czekaj czekaj ale dziedziną jest całe R bo to z dołu uzupełnia do całego R. wynikiem jest pseudo wielomian plus ten warunek dla x=4 czyli wtedy m. Czyli ten pseudo wielomian plus warunek z dołu dają wielomian

Jan: to według mnie dla F(4)=5

Basia: kompletne bzdury

Jan: a może chodzi tu o ciągłość Basiu ?

pigor: ... coś mi się zdaje,że po prostu zadanie brzmiało inaczej np. tak : Wykaz, że ... istnieje parametr m taki, że ... i tyle , bo dla m=5 − moim zdaniem on istnieje i określony jest na R tak : {x²−x−3 dla x≠4 f(x)={ ⇔ f(x)= x²−x−3 dla x∊R ; pozdrawiam wszystkich { 5 dla x=4

Basia: pigor wszystko dobrze, ale to nie jest wielomian taka funkcja jak najbardziej istnieje, ale wielomianem nie jest

pigor: ... , przepraszam masz rację , myślałem ( nie sprawdziłem) , że to m=5 "zakleja i dziurę" w paraboli dla x≠4, a stało by się tak wtedy, gdyby m=9 , a więc faktycznie wszystko gra ; taki trójmian kwadratowy nie jest wielomianem stopnia drugiego , bo parabola jego ma w x=4 "dziurę" ( f nie jest po prostu ciągła w x=4) , czyli nie jest określony na R ...