. Letty: Mam taką funkcje: f(x) = −2x(1−x)² Jej dziedzina to D=R muszę zbadać jej przebieg i prosiłabym o sprawdzenie czy dobrze to robie 1.D=R 2. ox; f(x) = 0 ⇔ x = 0 lub x = 1 lub x =−1 oy; f(0)= 0 więc mam punkty takie jak: A(0,0) B(1,0) C(−1,0) 3. granica: nie wiem teraz czy tą funkcje moge zapisać w takiej postaci: f(x) = −2x(1−x)² = −2x³ + 4x² − 2x

krystek: Możesz!

Letty: jeżeli tak to: lim_x→+∞−2x³ + 4x² − 2x = −∞ lim_{x→ −∞}−2x³ + 4x² − 2x = +∞

Letty: 4. asymptoty: D=R więc nie ma pionowych ukosne: y = ax +b

	4		2
a= limx→+∞−2x3 + 4x − 2 = limx→+∞ −x2(2 −		+		) = −∞
	x		x2

	4		2
a= limx→−∞−2x3 + 4x − 2 = limx→−∞ −x2(2 −		+		) = −∞
	x		x2

więc nie ma asymptot ukośnych.

Letty: 5. pochodna: f'(x) = −6x² + 8x − 2 czy f'(x) = −4x + 4 nie wiem czemu ale wychodza mi dwie różne gdy licze pochodną z głównego wzory i gdy liczę z tego f(x)=−2x³ + 4x² − 2x

Letty: która pochodna jest dobra?

Mona: granica lima_x→ −∞ = −2 +u{4,x} + u{2,x²}= −2

Letty: mam źle policzoną granicę?

Mona: to granica z pkt 3

Letty: ale czemu ma być −2?

Mona: bo dzielisz przez x³

Letty:

	4		2
a ja wyciągłam −x3 przed nawias. −x3(2 −		+		)
	x		x2

Mona: a no faktycznie bo to nie jest ułamek

Mona: w takim razie robie to zad od nowa

Letty: hehe a jaka ma być ta pochodna?

krystek: Pochodne muszą być takie same a granice ∞ i −∞

Mona: poch. −2(x−1)

Letty: no ale któa pochodna jest dobra?, bo dalej nie wiem i nie wiem też czemu mi dwie różne wyszły.

krystek: zwróć uwagę ,że pochodna[ (1−x)²]'=2(1−x)*(−1)

krystek: y'=−6x²+8x−2

Mona: ja sb całą funkcje rozpisałam na początku że to jest 2x(x−1)²

Mona: po prostu chowasz −

Mona: krystek dobrze policzył

Letty: f'(x) = −2(1−x)² + 2(1−x)*(−1) = −2(1−x)(1−x + 1) = −2(1−x)(2−x) = −2x² + 6x − 4

Letty: no to gdzie mam błąd?

Mona: chwila zrobię wszystko od nowa i napisze

Mona: ej mam pytanie bo jak chowam − na początku z tej funki\cji to ma postaść2x(x−1)² i wtedy moje 0X: wychodzą tylko A(0,0) , B(1,0)

Letty: tak, ja zrobiłam tam błąd

Mona: OK. a tego − lepiej nie chować bo wtedy cała funkcja zmienia znak

Mona: z.w

Letty: dobra to skoro taka ma być ta pochodna ( choź dalej nie wiem dlaczego i gdzie źle policzyłam)

	1
to teraz wartość minimalna jest dla		a max dla 1 tak?
	3

	1
6. f(x) rosnąca dla x∊(		, 1)
	3

	1
f(x) malejąca dla x∊(−∞,		) oraz x∊(1,+∞)
	3

7.f"(x) = −12x − 8 dobrze?

Mona: zaraz napisze

Mona: tak dobrze ci teraz wyszło

Mona: pp to ²₃

Mona: wypukła od −∞ do ²₃ a wklęsła od ²₃ do +∞

Letty:

	2
pp to −
	3

Mona: ten głupi − :(

Letty: wyszła Ci dobrze ta tabelka? bo mi sie coś nie zgadza.

Mona: kurde ja zrobiłam ją ale dla pp ²₃

Mona: robie nowa

Letty:

	2		2		2		1		1		1
x: (−∞,−		) −		(−		,		)		(		,1) 1
	3		3		3		3		3		3

(1,+∞) f'(x) − brak − 0 + 0 − f"(x) + 0 − brak − brak − tak mi wyszło.

Letty: a w trzecim zadaniu jaka Ci wyszła pierwsza i druga pochodna?

Mona: napisz rzędami f^, − brak − o + 0 −

Mona: f^,, − 0 + brak + brak +

Mona: i tu mam głupote bo maleje mi od −∞ ⁶⁴₂₇ maleje u(6)(27) rośnie 0 maleje +∞

Mona: chyba mi żle wyszło przy f^, bo tam na odwrót przediały

Mona: tak żle przedziały przy f^, jak zamienisz na odwrotne to wszystko super wyjdzie

Letty: no właśnie w f'(x) masz inaczej niż ja.

Letty: czyli w fx) ma być: + 0 − brak − brak − tak?

Letty: ale funkcja juz mi wtedy nie wychodzi tak jak powinna. coś mi się jednak nie zgadza..

Letty: w pierwszym przedziale mam finkcje malejącą wypukłą i maleje od +∞

Letty:

	2		100
w −		funkcja ma wartość		tak?
	3		27

Mona: w u−{2}{3} ja mam ⁶⁴₂₇

Mona: wykres wychodzi elegancko

Letty:

	2
ale mi się właśnie wynik nie zgadza dla −
	3

mam podstawiać do −2x(1−x)²

Mona: ja podstawiałam do −2x³ + 4x² − 2x tylko nie mów że się pomyliłam?

Mona: −2* −⁸₂₇ + ⁴⁸₂₇ − ³⁶₂₇

Letty:

	2		4
w ostatnim −2 *(−		) = +
	3		3

Mona: i jak?

Mona: no a jak to do wspólnego mianownika sprowadzisz

Letty:

	100
no i wtedy wychodzi
	27

Mona: to to co napisałam

Mona: a dobra może ale ważne żeby to tak robić

Mona: rozwiązałaś 2 przykład mam pytanie do granicy przy 1⁻ i 1⁺ bo wychodzi mi +∞ dla obydwu czyli to asymptota obustronna ?

Letty:

	8		4		4		16		16		4		16 + 48 + 36
−2*(−		) + 4*		+		=		+		+		=		=
	27		9		3		27		9		3		27

	100
	27

Letty: mi też tak wyszło. no i jest to asymptota obustronna. ale przy tym pierwszym mi wykres nie wychodzi

Letty: a masz już w tym drugim przykładzie pochodna obliczoną ?

Mona: ja już to rozwiązywałam ale robię jeszcze raz wszystko więc zaraz policze. tak tam jaest 100|27 bo ja sb −16 tam dałam:( wykres mi wyszedł

Letty: mi pierwsza pochodna wyszła:

	(x2 − 1)(3x2 + 4x + 1)
f'(x) =
	(x2 −1)4

Mona: mam licznik −(x−1)(x+1)³ mianownik (x²−1)⁴

Mona: to inna

Letty:

	100		2
no mi idzie od +∞ maleje i wypukły idzie do		dla x = −		i tu jest pp i dalej
	27		3

	8
maleje i wklęsły do −		i tu jest min i później rośnie do 0 dla jedynki i maleje ,
	27

wklęsły do −∞

Letty: a to dlaczego?

Mona: a mi po poprawie −∞rośnie do ¹⁰⁰₂₇ maleje do u {6}{27} maleje do 0 i rośnie do+∞

Letty: no to już nie wiem gdzie mam błąd. sprawdź jeszcze raz pochodną bo ja sprawdzam ale mi cały czas wychodzi taka sama.

Mona: mi też

Letty: to policze tutaj. sprawdzaj.

Letty:

	(x2−1)2 − 2(x2 −1)*2x*(x+1)
f'(x) =		=
	(x2 −1)4

Letty:

	(x2 −1)2 − 4x(x2 −1)(x+1)
=		=
	(x2 −1)4

Mona: a druga pochdna to (x+1)²(−3x+7): (x² − 1)⁴

Letty:

	(x2 −1)[(x2 −1) − 4x(x+1)]
=		=
	(x2 −1)4

Mona: a rozpisz sb tam x² −1 jak (x−1)(x+1)

Letty:

	−(x2 −1)(3x2 + 4x +1)
=
	(x2 −1)4

Mona: i wtedy zob.

Letty: to napisz to bo nie wiem jak to napisać wtedy.

Mona: (x−1)²(x+1) − 4x(x−1)²(x+1)²(x+1) licznik a mianownik (x²− 1)⁸

Mona: i teraz

Mona: (x−1)²(x+1) − 4x(x−1)²(x+1)3

Letty: ale to jest pierwsza pochodna czy druga?

Mona: ja rozpisałam to co wstawiłaś nad moim koment o 2 poch

Mona: a w zeszycie od początku tak rozpisywałam i mi trochę inaczej wyszło

Letty: nadal nie wiem jak skąd Ci się to wzięło. możesz rozpisac od samego początku dokładnie?

	x+1
f(x)=		i teraz pochodną ? pokolei
	(x2−1)2

X: rozpisuje licznik dla poch bo mian, taki jak teraz tylko do 4 1*(X² −1)² − (X²−1)2X(X+1)= (X²−1)[X²−1 −2X² −2X)= (X²−1)(−X² −2X −1)= −(X²−1)(X+1)²= −(X−1)(X+1)³

Letty: a nie brakuje Ci tam w pierwszym dwójki zaraz po minusi ei przed tym nawiasem ?

X: nie wiem

Mona: a masz 3 przykład?

Letty: powinno być: (x² − 1)² − 2(x² −1)2x(x+1)

Letty: mam.

Letty: no bo jak licze pochodna ilorazu to licze poch pierwszego czyli mam jeden razy mian. − poch mian. czyli 2(x² − 1) (z tego że (y=xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹ ) razy 2x czyli to co jest pod nawiasem razy licznik.

Mona: no zapodziało się:− niestety ale i tak w tabeli dobrez

Letty: ale w tedy zupełnie inna pochodna wychodzi.

Letty: to jak to wkońcu ma być?