równania różniczkowe rzędu 2 Dżastina: Znależć rozw podanych rownan: a) yy^''−(y^')²=y^' b)(1+y²)y^''=2y(y^')²

Dżastina: Ponawiam

Krzysiek: a)y'=t(y)

	dt
y'' =t(y) *
	dy

wstawiając do równania:

	dt
yt(y) *		−(t(y))2 =t(y)
	dy

dt		t+t2
	=
dy		yt

dt		1+t
	=
dy		y

rozdzielając zmienne:

	dt		dy
∫		=∫
	1+t		y

ln|t+1| =ln|y| +C czyli: t+1=e^{lny +C} =y*e^C t=yC₁ −1

	dy
wracając do podstawienia: t=
	dx

znów rozdzielasz zmienne i liczysz całki

Dżastina: y'=yc₁−1 ^dy_dx=yc₁−1 ^dy_yc1−1=dx całkujemy ¹_c1ln|yc₁−1|=x+c₂ ln|yc₁−1|=c₁(x+c₂) e^{c₁x+c₁c₂}=yc₁−1 y=1/c₁+(e^{c₁x+c₁c₂})/c₁

Dżastina: czyli e^{c₁x+c₁c₂}=e^c₁x*e^c₁c₂=e^c₁x *C₃

Dżastina: bo w odpowiedzi jest tak :y(x)=c₂/c₁ *e^c₁x+1/c₁ czyli jak zastąpie e^c₁c₂=c₃ to mi właśnie wyjdzie tak... Może tak być?

Krzysiek: tak

Dżastina: dzięki a odnośnie przykładu drugiego, a dokładniej samej końcówki... Wyszło mi: 1/c₁tg(1+y²)=x+c₂ W odp jest: y(x)=tg(c₁x+c₂) I za bardzo nie wiem jak to sensownie przekształcić?

Krzysiek: Mi wyszło jak w odpowiedziach... t=C(1+y² ) czyli po rozdzieleniu zmiennych i policzeniu całek: arctgy =Cx+C₁ czyli: y=tg(Cx +C₁)

Dżastina: Tak, tak.. ∫ 1/(1+y²)=arctg y, a ja tam wpisałam przez przypadek tg Teraz już wszystko jasne