Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Z góry serdecznie dziękuję. nina: 1. Sprawdź, że dla każdego kąta ostrego α prawdziwa jest tożsamość (cosα/sinα+tgα)sin²α=tgα 2. Sprawdź, czy istnieje taki kąt ostry α, że sinα=3/4 i tgα=4 3. W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni. Dłuższa przyprostokatna jest o 3 krótsza od przeciwprostokatnej. Wyznacz długości boków tego trójkąta. 4. Wykaż, że wartość wyrażenia W=(sinα − cosα)²+(sinα+cosα)² jest stała dla każdego kąta ostrego α. Wyznacz tę wartość.

AD: Odp. 4 W=sinα²−2sinαcosα+cosα²+sinα²+2sinαcosα+cosα²=2

AD: Odp1: Oznaczmy: sinα=s; cosα=c

	c		s		s		c
(		+		)s2=		dzielimy mnożymy
	s		c		c		s

	c
((		)2+1)*s2=1
	s

c²+s²=1 to jest jedynka trygonometryczna.

AD: Odp.2 sinα=3/4 to cosα=√7/4 tgα=3/√7

Damian: to jest tożsamość trygonometryczna wiec mozna tak : założenia sinα≠0

	cosα		sinα		sinα
(		+		) sin2α =
	sinα		cosα		cosα

	cos2α + sin2		sinα
(		* sin2α =
	sinαcosα		cosα

1		sinα
	* sin2α =
sinαcosα		cosα

sinα		sinα
	=
cosα		cosα

L = P

Damian: Odp 2 mozna tak zrobic:

	3
sinα =
	4

	x
cosα =
	4

	3		3
tgα =		= 4 ⇒x =
	x		4

	3
Z boków długości		, 3 , 4 nie da się zbudować trójkąta wiec taki kąt nie istnieje
	4

AD: Odp3 sin60=(c−3)/c=√3/2⇒c−3=√3/2c⇒(1−√3/2)c=3⇒c=3/(1−√3/2) c=3*(1+√3/2)/(1−3/4)=12(1+√3/2) a=c−3=9+6√3 b=c/2=6(1+√3/2)

Damian: Bogdanie Potwierdz czy dobrze

Bogdan:

	π
W drugim przykładzie trzeba najpierw stwierdzić, że jeśli sinα > 0 i tgα > 0 to α (0,		)
	2

i cosα > 0.

	3		√7		√7
Dla sinα =		, cosα =		lub cosα = −		nie spełnia warunków zadania.
	4		4		4

Bogdan: Ad2. Damianie, można przy pomocy rysunku i związków trygonometrycznych też podać uzasadnienie.

	sinα		3   4		3*4
Wystarczyło jednak zapisać: tgα =		=		=		=
	cosα		√7   4		4*√7

	3
=		≠ 4
	√7

marta: jeszcze raz dziękuje za pomoc

Damian: Co do założen zrobiłem dokładnie takie jak napisałes ... tylko ze w zeszycie a nie napisałem w odpowiedzi... A czy moge w ten sposób rozwiazać zadanie Chodzi mi czy to dobre rozwiazanie...

Bogdan: Ad3. Uwaga techniczna Damianie. Zapisy Twoje są niejednoznaczne, np.: √3/2c można

	√3		√3
zrozumieć tak:		, a chciałeś przekazać, że masz na myśli		c.
	2c		2

Założenia:c > 0, c − 3 > 0, b > 0.

c − 3		c − 3		√3
	= sin60o ⇒		=		⇒ 2c − 6 = c√3 ⇒ c(2 − √3) = 6
c		c		2

	6		2 + √3		12 + 6√3
c =		*		=		= 12 + 6√3 = 6(2 + √3)
	2 − √3		2 + √3		4 − 3

c − 3 = 9 + 6√3 = 3(3 + 2√3)

b		b		1
	= cos60o ⇒		=		⇒ b = 3(2 + √3)
c		6(2 + √3)		2

Bogdan: Damianie, wyniki masz dobre w 3 zadaniu, zadanie rozwiązałeś poprawnie, przy wyznaczaniu b

	c
trzeba jednak uzasadnić, że jeśli α = 60o, to b =
	2