Indukcja Ann: 2n ∑(−1)ⁱ⁺¹F_i=1−F_2n+1 i=0 Indukcją Nie za bardzo wiem, jak to rozpisać.. Jak zachowuje się suma do 2(n+1)? 2n ∑(−1)ⁱ⁺¹F_i+(−1)ⁿ⁺²F_n+1+(−1)ⁿ⁺³F_n+2=1−F_2n+3 i=0

Ann: Gdzie F_n to oczywiście ciąg Fibonacciego

Ann: Prooooszęęęeeeeęęeęeęęęę zależy mi tylko na wskazówce lub na rozpisaniu sumy przed krokiem indukcyjnym

Ann: up

Ann:

Ann: A jest jakiś dowód lim n−>∞ (1+1/n)ⁿ=e inny niż dwumianem Newtona?

Ann: up

Ann: up

Ann: up

Ann: up

Ann: up

Ann: up

Ann: up

Basia: F₀=0 F₁=1 F₂=F₁+F₀ = 1 F₃ = F₂+F₁ = 1+1=2 n=1 L = ∑_i=0,1,2(−1)ⁱ⁺¹F_i = (−1)¹*F₀+(−1)²*F₁ + (−1)³*F₂ = −1*0+1*1−1*1 = 0 P = 1−F₃ = −1 L≠P już dla n=1 twierdzenie jest nieprawdziwe no to jak można je udowodnić ?

Basia: ad. pytanie z 23:26 nie ma; dowodzi się, że ciąg (1+¹_n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z góry musi zatem być zbieżny granicą tego ciągu jest jakaś liczba niewymierna z (2;3) nazwano ją liczbą e to jest definicja liczby e e = lim_n→+∞(1+¹_n)ⁿ

Ann: Przepraszam, założenie z tą indukcją n≥2 i twierdzenie jest prawdziwe. I wiem, że jest to definicja liczby e. Jednak na analizie prowadząca Pani dr powiedziała, żebyśmy znaleźli dowód dlaczego właśnie lim_n→∞ (1+¹_n)ⁿ=e Znalazłam gdzieś dowód w którym wykorzystuje się dwumian Newtona, ale byłam ciekawa, czy są jakieś inne

Basia: Jak można udowodnić definicję ? przecież to absurd Pani doktor chodziło o udowodnienie: 1. ten ciąg jest rosnący 2. jest ograniczony z góry liczbą z przedziału (2;3) (to ten dowód z dwumianem Newtona; ja innego nie znam, ale to nie znaczy, że nie ma) Co do ciągu F, to spróbuję coś policzyć dla n≥2

Ann: Ok, dzięki

Basia: Ann dla n=2 to też nieprawda L = −F₀+F₁−F₂+F₃−F₄ = −0+1−1+2−3 = −1 P = 1−F₅ = 1−5 = −4 wydaje mi się, powinno być: ∑_i=0,...,2n (−1)ⁱ⁺¹F_i = 1−F_2n−1 ale muszę to sprawdzić; na razie mam tylko policzone dla n=2 i n=3

Basia: ten wzór też nie jest dobry; sprawdź jak powinien naprawdę wyglądać

Ann: Zadanie 10. przykład b) http://www2.im.uj.edu.pl/MalgorzataCzapla/MDZestaw2.pdf

Basia: No to napisz to co Ci już napisałam: dla n=2 mamy L = −F₀+F₁−F₂+F₃−F₄ P = 1−F₅ F₀=0 F₁=1 F₂=1 F₃=2 F₄=3 F₅ =5 L = −0+1−1+2−3 = −1 P = 1 − 5 = −4 L≠P dla n=3 L = −F₀+F₁−F₂+F₃−F₄+F₅−F₆ P = 1−F₇ F₀=0 F₁=1 F₂=1 F₃=2 F₄=3 F₅ =5 F₆ = 8 F₇ = 13 L = −0+1−1+2−3+5−8 = −4 P = 1 − 13 = −12 L≠P podany wzór nie jest prawdziwy dla n=2 i dla n=3 (i pewnie dalej też) prawdopodobnie jest tam jakiś błąd, ale nie wiem na razie jaki

Basia: wydaje mi się, że prawdziwy może być wzór ∑_i=0,....,2n(−1)ⁱ⁺¹F_i = 1−F_2n+1+F_2n nie tylko mi się wydaje; potrafię go udowodnić jest prawdziwy udowodnić go nie jest trudno