Liczby rzeczywiste bezendu1990: Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n liczba n³−n jest podzielna przez 6 ? Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć to zadanie ?

Saizou : n(n²−1)=n(n+1)(n−1) jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych z których jedna jest podzielna na pewno przez 2 a jedna przez 3, zatem ich iloczyn dzieli się przez 6

bezendu1990: ale skąd wiem że (n−1) lub (n+1) jest podzielne prze 3 albo 2

Saizou : a weź trzy kolejne liczby całkowite np. 1,2,3 lub −5,−6,−7 lub 4,5,6

bezendu1990: no mam 4,5,6

Saizou : i masz liczbę podzielną przez 2 i podzielną przez 3

bezendu1990: ok już kumam dzięki Saizou

Saizou : proszę

Eta: Kto rzuca moimi

bezendu1990: masz jeszcze chwilkę

bezendu1990: ja Eta rzucam

Eta:

Saizou : witaj Eto, ale ja je zbieram na szarlotkę

Saizou : tam mam chwile, a jak nie ja to pewnie ktoś inny

Saizou : *tak

bezendu1990: Polecenie wykaż że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczba podzielną przez 8 to ja robię tak (2n+1)²−*2n+3)²=4n²+4n+1−(4n²+12n+9) 4n²+4n+1−4n²−12n−9= −8n−8 i co dalej wyłączyć 8 przed nawias

Eta: A ja upiekłam karpatkę

Kejt: mhm..i będziesz miał 8 * coś...czyli będzie podzielne przez 8.

Eta: Tak i masz liczbę postaci [C [8]]k , k€C czyli podzielną przez 8

Saizou : tak Eto podziel się

Eta: 8k

Eta: < karpatka > dla Saizou

Saizou : dziękować

bezendu1990: a mogło by być że (2n−3)²−(2n−1)²

Eta: I teraz zabraknie Ci na karpatkę

Saizou : tak bo to nie robi różnicy

Saizou : to pójdę i ruszę moje zapasy jabłek na zimę

bezendu1990: Jeszcze takie zadanko : Wykaż że kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 i teraz jak mam zapisać liczbę niecałkowitą

bezendu1990: n−1 ale jak zrobić żeby była niepodzielna przez 3 ?

Kejt: 3k+1? np..

Saizou : załóżmy że n jest nie podzielne przez 3, zatem n mogę zapisać jako n=k+1 lub n=k+2 ,gdzie k jest podzielne przez 3 zatem (k+1)²=k²+2k+1=k(k+2)+1 niebieskie jest podzielne przez 3 (k+2)²=k²+4k+4=k(k+4)+3+1 niebieskie podzielne przez 3

bezendu1990: (3k+1)²=9k²+6k+1 i co dalej ?

Eta: 9k²+6k+1= 3(3k²+2k) +1 −−− reszta

Saizou : aż się sam zdziwiłem że na taki pomysł sam padłem

bezendu1990: ok czyli jak za k wstawię jakąś dowolną liczbę całkowitą to nie podzielę przez 3... I w kolejności Saizou kolejne Eta

Kejt: :(

Saizou : i dla Kejt

bezendu1990: oczywiście jeszcze Kejt

Kejt: dziękuję za uwagę

bezendu1990: Wykaż że: a) dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność 4a²+1≥4a 4a²−4a+1≥0 Δ=0

	4		1
x0=		=
	16		4

	1
4(a−		)2≥0 to jest dobrze
	4

b)suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2

	1
np 2+		≥2 dobry zapis
	2

Saizou : a) 4a²−4a+1≥0 (2a−1)²≥0 b)

	1
n+		≥0 /*n
	n

n²+1≥0 n²≥−1 zawsze

Kejt: chyba wystarczyłoby w a) narysować..

	1
b) n+		≥2
	n

bezendu1990: ale tam miało być od 2 Czyli zapis Kejt jest dobry ?

Mati_gg9225535: KARPATKI NIE ROBI SIĘ Z JABŁEK :<<

Saizou :

	1
n+		≥2 /*n
	n

n²+1>2n n²−2n+1≥0 (n−1)²≥0

Kejt: dokańczając: n>0

	1
n+		≥2
	n

n²+1≥2n n²−2n+1≥0 (n−1)²≥0

bezendu1990: c) tego nie wiem wgl nie mam pomysłu

	a		b
jeśli liczba a i b są liczbami tego samego znaku to		+		≥2
	b		a

Saizou :

a		b
	+		≥2 /*ab
b		a

a²+b²≥2ab a²−2ab+b²≥0 (a−b)²≥0

bezendu1990: ok dzięki

bezendu1990: wykaż, że jeśli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych to liczba 5n również ma te wartość (n+1)²+(n+2)²=n 2n²+2n+2+2n²+4n+4=n 4n²+6n+6=n dobrze to jest ?

Saizou : n=k²+(k+1)² =k²+k²+2k+1=2k²+2k+1 5n=5(2k²+2k+1)=10k²+10k+5=k²+9k²+4k+6k+4+1=k²+4k+4+9k²+6k+1=(k+2)²+(3k+1)² jeśli o coś takiego się rozchodzi

bezendu1990: no chyba o takie coś

Eta: n= m²+k² to: 5n= 5m²+5k²=(m+2k)²+(2m−k)² −−− ta sama własność

bezendu1990: a może zostać w tej postaci: 5n=5(2k²+2k+1)=10k²+10k+5 czy trzeba to "zwijać" w wzór skróconego mnożenia ?