monotoniczność miodek: Monotoniczność ciagów Udowodnij, że ciąg a_n jest monotoniczny: a) a_n = ⁿ√n! b) a₁ = 3; a_{n + 1} = a_n² + 2 c) a_n = ⁿ√2ⁿ + 3ⁿ

miodek:

miodek:

miodek:

miodek:

Artur_z_miasta_Neptuna: miodek ... pytanie−wskazówka ... kiedy ciąg jest monotoniczny

miodek: a_{n + 1} − a_n > 0 lub < 0 ale najbardziej ciekawi mnie jak zrobić przykład b) indukcyjnie?

miodek:

miodek:

Krzysiek: a_n+1 −a_n =(a_n)² +2 −(a_n−1)² −2 = (a_n −a_n−1)(a_n +a_n−1 ) (a_n −a_n−1) >0 (a_n +a_n−1 ) >0 zatem ciąg rosnący

miodek: skąd wiadomo, że ciąg jest rosnący?

Krzysiek: https://matematykaszkolna.pl/strona/263.html z definicji może jednak chciałeś zapytać skąd wiadomo, że te nawiasy są >0 ? może spróbuj Sam to wyjaśnić

miodek: no właśnie nie wiem a jak zrobić to z silnią?

miodek:

miodek:

miodek:

miodek:

Krzysiek: co do przykłady z silnią, nie wiem jak to udowodnić formalnie. wiem, że ciągo wyrazach dodatnich zmierza do ∞ więc jest rosnący

miodek: na zajęciach coś próbowaliśmy z dzieleniem, ale do końca nie rozumiem

miodek:

Artur_z_miasta_Neptuna: Krzysiek ... a nie prościej indukcję tak: a_n+1 − a_n = (a_n² + 2) − a_n = a_n² − a_n + 2 = (a_n−2)(a_n+1) (a_n−2)(a_n+1) ≥ 0 dla a_n≥2 ... natomiast a_k+1 = a_k² + 2 ≥ 2 oraz a₁ = 3 > 2 więc ciąg jest niemalejący dla n∊N

Artur_z_miasta_Neptuna: dobra ... pośpieszyłem się z miejsami zerowymi tam Δ<0 ... więc wyrażenie zawsze > 0 koniec zadania

miodek: a wiesz może jak zrobić to z tą silnią?

miodek:

Artur_z_miasta_Neptuna:

an+1
	= U{((n+1)!)1/n+1}{((n)!)1/n =
an

= (n+1)^1/n+1 * (n!)^{1/(n+1) − 1/n} = = (n+1)^1/n+1 * (n!)^{−1/(n(n+1))} > 0 dla każdego n∊N (liczba dodatnia do potęgi daje liczbę dodatnią)