Motonocznosc funkcji Olek: Zbadaj monotonicznosc funkcji i znajdz jej ekstrema

	(x−1)3
Witam, mam taką funkcje: y=
	(x+1)2

Dziedzina: x∊R−{−1} Licze jej pochodna i po przeksztalceniach wychodzi:

(x+1)(x−1)2[3(x+1)−2(x−1)]
(x+1)4

I w tym momencie jeżeli skrócę mianownik i licznik przez to (x+1), w mianowniku zostanie (x+1)³ dostaje zupelnie inne rozwiazanie niz w odpowiedziach. Dlaczego tak jest? przeciez z dziedziny funkcji x jest rozne od −1 wiec (x+1) nie powinno dostarczać żadnych rozwiazań. Ktoś wytlumaczy?

Artur z miasta Neptuna: Zapewne dlatego ze przy roboeniu szkicu pochodnej pochodnych biersesz po uwage tylko i wylacznie licznik pochodnej −−− to jest blad. O ile (x+1)⁴ >0 dla kazde x∊D_f −−− wiec mozna go pominac przy wyznaczaniu wykresu pochodnej o type w przypadku (x+1)³ juz tak pieknie nie jest poniewaz mianownik przyjmue wartosci uemne dla x<1 i sprawa sie komplikuje. Dlatego zaleca sie NIGDY nie redukowac mianownik pochodnej z funkcji posyaci f(x)/g(x) Bo mianownik pochodnej bedzie zawsze >0

Artur_z_miasta_Neptuna: to, że (x+1) NIE JEST miejscem zerowym, bo nie należy do dziedziny, nie oznacza, że wokół tego punktu nie dochodzi do zmiany znaku wartości funkcji którą chcesz naszpicować

	x
naszkicujmy sobie f(x) =
	x2

	x		1
gdybyś Ty to robił to byś napisał		=		.... i brał pod uwagę tylko licznik (i
	x2		x

tu robisz błąd) ... czyli g(x) = 1

	1
(abstrahuję od tego, że znasz wykres funkcji		)
	x

natomiast bez skracania badałbyś g(x) = x, ponieważ ∀_x∊Df x² > 0 oczywiście, to są 'szkice' ... ale o ile drugi pokazuje kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a kiedy ujemne (a to Ciebie interesuje) o tyle pierwsza tego nie pokazuje. Mam nadzieję, że Cię przekonałem do tego, aby nie skracać mianownik w pochodnych z funkcji typu

	f(x)
	g(x)

Olek: Dzięki, naprawdę bardzo mi pomogłeś. A gdybym w liczniku bez redukcji miał potęgę 3 stopnia a nie czwartego wciaż mogłbym badać tylko licznik wiedząc, że mianownik może przyjmować wartości ujemne? Wydaje mi się że nie.

	x
Więc gdyby f(x) wyjściowa wygladałaby powiedzmy tak:		, to chyba nie badałbym już
	x3

samego x prawda?

Olek: Może pomnozyc wtedy cały ułamek przez x i na dole znow bedzie x⁴ ale nie wiemy czy x jest dodatnie więc juz nie wiem

Artur ..... :

	f(x)
Olek ... zauważ jak wyglada wzór na pochodna funkcji typu
	g(x)

	f(x)		f'g − fg'
(		)' =
	g(x)		g2

skoro g² ma być nieparzystego stopnia ... to jakie musi być samo g(x) musiałoby być pierwiastkiem z jakiejś funkcji ... np. g(x) = √(x⁴−45x³+2) a co za tym idzie ... dziedzina funkcji jest ograniczona do sytuacji, że (x⁴−45x³+2) >0 ... czyli g(x) >0 czyli tym bardziej g²(x) >0

	f(x)
reasumując: w pochodnej postaci		NIGDY nie skracasz niczego z licznika i
	g(x)

mianownika bo mianownik zawsze będziesz dodatni dla x∊D_f

Olek: Heh racja. Bardzo dziękuje za pomoc

Artur ..... : nie ma sprawy