rozwiąż równanie guru: 1 1 −−−−−− + −−−−− = 2 1−x² 1+x

Bogdan: Założenie: 1 − x² ≠ 0 ⇒ (1 − x)(1 + x) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 i x ≠ −1

1		1
	+		= 2 / * (1 − x)(1 + x)
(1 − x)(1 + x)		1 + x

	1
1 + 1 − x = 2(1 − x2) ⇒ 2 − x = 2 − 2x2 ⇒ 2x2 − x = 0 ⇒ 2x(x −		) = 0
	2

	1
Odp.: x = 0 lub x =
	2

kiepski...: Bogdanie Mam pytanie − wiem ze kiedy mianownik jest wiekszy od zera to mnozymy przez mianownik... ale jesli moze byc ujemny to mnozymy przez jego kwadrat Widze ze Pan pomnozyl przez niego samego (a moze byc ujemny) − zastanawiam sie dlaczego nie przez kwadrat teraz juz nie wiem co i jak, gdzie, kiedy. Moze mi pan wytlumaczyc kiedy w równościach mnozymy przez kwadrat mianownika a kiedy przez sam mianownik? A potem prosze mi powiedziec jak to jest z nierównościami... bo się gubię... Z góry dziekuję

Mały: Bogdanie ( i inni) zajrzyjcie do mnie !

kiepski...: Prosze wytłumaczysz

Bogdan: W równaniach wymiernych nie ma znaczenia znak mianownika, mnożymy takie równanie przez wspólny mianownik wszystkich mianowników występujących w równaniu. Tutaj wspólnym mianownikiem jest: 1 − x². Znak ma znaczenie przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych. Przy rozwiązywaniu nierówności bezpiecznym sposobem rozwiązywania jest zapisanie wszystkich składników po jednej stronie nierówności, po drugiej wpisujemy zero, następnie sprowadzamy wszystkie składniki do wspólnego mianownika i zapisujemy nierówność wymierną w postaci równoważnej nierówności wielomianowej.

	1		1
Np.:		≤		+ 2, założenie: x ≠ −1 i x ≠ 1,
	1 − x2		x + 1

1		1
	−		− 2 ≤ 0
1 − x2		x + 1

1 − x2 − 1 + x − 2 + 2x2		x2 + x − 2
	≤ 0 ⇒		≤ 0
(1 − x)(1 + x)		−(x − 1)(x + 1)

(x − 1)(x + 2)		x + 2
	≤ 0 ⇒		≤ 0 ⇔ −(x + 2)(x + 1) ≤ 0
−(x − 1)(x + 1)		−(x + 1)

+ + + −−−−−−−−−− [−2] −−−−−−−−−− (−1) −−−−−−−−−−>x − − − − − − x ∊ (−∞, −2> U (−1, +∞)

kiepski...: Aha czyli w każdej równości mnoży sie przez wpolny mianownik Są jakieś wyjątki np nie wiem dla równań niewymiernych... Czy znak nie ma znaczenia dla wszystkich równości Co do nierownosci to wiem ze znak iloczynu to to samo co znak ilorazu czyli dlatego z

x+2
	≤0 powtało −(x+2)(x+1) ≤ 0
−(x+1)

i wlasnie to wygląda jak pomnozenie obustronnie przez kwadrat mianownika a jesli np. na samym koncu byloby takie cosik

x+1
	≤0 to wtedy bedzie mianownik zawsze dodatni
x2+2

(x+1)(x²+2) ≤ 0 hmmm w sumie to bedzie mniejsze od zera tylko wtedy gdy (x+1) ≤ 0 wiec ułamek

x+1
	≤0
x2+2

mozna zapisac w postaci x+1≤0 Dobrze zrozumiałem

kiepski...: Czy dobrze mysle

Bogdan: Przepraszam, że nie odpowiedziałem od razu, ale byłem zajęty. Myślę, że rozumiesz omawiany problem i nie będziesz miał z nim kłopotów. Występują jednak w Twojej wypowiedzi pewne nieścisłości. Nie wiem, co rozumiesz pod pojęciem "równanie niewymierne". Cytuję Ciebie: "Co do nierówności to wiem że znak iloczynu to to samo co znak ilorazu

	x+2
czyli dlatego z		≤ 0 powstało −(x+2)(x+1) ≤ 0."
	−(x+1)

Tak jednak nie można rozumieć tego przejścia. Znak iloczynu to nie to samo, co znak ilorazu, a pokazane przejście z postaci wymiernej do wielomianowej jest możliwe, ponieważ

	x+2
nierówności:		≤ 0 i −(x+2)(x+1) ≤ 0 są równoważne, co oznacza, że obie
	−(x+1)

nierówności mają ten sam zbiór rozwiązań. Równoważność równań lub nierówności oznacza, że zbiory rozwiązań są takie same. Np.: równoważne są równania: 3x − 3 = 0 i 2x = 2, nie są równoważne równania: x² = 4 i x = 2.

	x + 1
Jeśli		≤ 0, to można pominąć mianownik i zapisać x + 1 ≤ 0, ale
	x2 + 2

przedtem trzeba zapisać: "dla każdej wartości x∊ℛ: x² + 2 > 0"

	x + 1
Nierówności:		≤ 0 i x + 1 ≤ 0 są równoważne.
	x2 + 2

kiepski...: Rozumiem Dziękuje za wyjaśnienie