Geanica ciągu. Ajtek: Witam, w ramach przypominania matmy zabrałem się za granice ciągów. Idzie całkiem niźle, z jednym zadaniem mam problem, mianowicie:

	√3n−2
limn→∞		, jak to ugryźć?
	√n+10

Czy mogę przmnożyć licznik i mianownik przez mianownik?

ICSP:

√a
	= √a/b
√b

PuRXUTM: Witaj Ajtek! nie wiem jak to ugryźć ale wiem jak ugryźć

TriviaI: offtopic: Działa przywracanie hasła do swojego konta?

Ajtek: Cześć ICSP, PuRXUTM . ICSP o tym wiem, tylko nie widzę jak to "zastosować", aż mi głupio A za jabłuszko dziękuje .

Ajtek: Cześć Trivial, nie wiem, nie miałem takiej potrzeby.

TriviaI:

	3n−2		3−2/n
√		= √		→ √3.
	n+10		1+10/n

ICSP:

	3n − 2
a ile wynosi granica z
	n + 10

ICSP: Trivial jedno szybkie pytanko : Czy metoda jest programem ?

TriviaI: metoda w sensie funkcji?

Ajtek: No 3. Że to będzie √3 to się domyśłałem, może inaczej intuicja podpowiadała. Czyli to będzie standardowo: dzielę przez najwyższą potęgę mianownika, pamiętając tylko że jestem pod pierwiastkiem?

ICSP:

Ajtek: Dzięki . Jednak niepamięć robi swoje .

asdf: Witaj Ajtek, ściągnij sobie etrapez: (... skasowałem link na żądanie firmy reprezentującej eTrapez (Jakub) ...)

ICSP: to była odpowiedź do pytania zadanego przez Triviala

TriviaI: ICSP, pewnie tak. A skąd w ogóle takie pytanie? Raczej i tak nie ma to żadnego znaczenia.

ICSP: Po prostu ostatnio pisałem metodę i zacząłem się zastanawiać czy piszę program czy nie Bo niby nic ten program takiego nie robi − nic nie liczy, nic nie wyświetla, można by powiedzieć że nie istnieje

Ajtek: Czyli:

	3√n−1		1
limn→∞		=		.
	3√8n+10		2

ICSP: Jeszcze jedno pytanko : Ile znasz klas w Javie i gdybyś mógł wymienić jakie to są klasy

Ajtek: Cześć asdf . Dzięki za link. Jak widzisz mam małe luki w pamięci, jak się to robi mniej więcej pamiętam, tylko muszę sobie poprzypominać, upewnić się .

asdf: nom

TriviaI: ICSP, przecież tego nie liczę. Jak mi coś potrzebne to szukam w dokumentacji, a jeśli dużo tego używam to potem już zapamiętuję.

asdf: @Ajtek Granice można szybko zapomnieć (według mnie), jak się nie jest w rytmie to szybko się zapomina metody liczenia..

ICSP: Nie chce dokładnej liczby Wystarczy że powiesz na oko z ilu klas skorzystałeś przynajmniej raz

TriviaI: ICSP, nie mam pojęcia... Zobacz ile ich jest, nie chce mi się nawet szacować liczby. http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/ Ale tak gdzieś z 5% z nich może.....

ICSP: ... Ja tylko dwie

TriviaI: Nie wierzę, że tylko dwie. String, Integer, jakieś okienka miałeś − następna, ...

Ajtek: asdf, granic ciągów nie liczyłem z 10 lat. Czasami na forum jakąś prostą z wielomianami podpowiedziałem. A w tym przypadku zgubił mnie pierwiastek i zwariowałem .

ICSP: hmm wiec : − pisałem najpierw w konsoli − później w okienkach − klasa Math na pewno była i chyba tyle

TriviaI:

ICSP: Trivial Ja dopiero miałem jeden semestr tego programowania Wiesz przecież że zanim zacznie sie uczyć jakiegoś języka trzeba znać podstawy − i to właśnie było na wykładach : − rodzaje pętli w programach − jak poprawnie pisać programy − jak skompilować programy − różnice między jeżykami programowania a dopiero pod koniec semestru zaczeliśmy Javę i to też same początki : − ja napisać rozwidlenie − jak zakodować pętle Teraz na wykładach zaczynamy poznawać kolejne klasy

TriviaI: Ale ja nic nie mówię.

ICSP: a umiesz dodawać obrazki do programu ?

TriviaI: Co to znaczy dodawać obrazki do programu?

ICSP: tzn wybrać obrazek z komputera i wyświetlić go w okienku podczas działania programu

TriviaI: http://stackoverflow.com/questions/299495/java-swing-how-to-add-an-image-to-a-jpanel

ICSP: Widzę że znowu cały jutrzejszy dzień przesiedzę nad kodem Jak na razie zbieram wszystkie materiały Dzięki bardzo

Ajtek: Takie coś mam: lim_n→∞n³√2−³√2n³+5n²−7=

	2n3−2n3−5n2+7
limn→∞=		= (*)
	n2*3√4+n*3√2*3√2n3+5n2−7+3√(2n3+5n2−7)2

W liczniku po redukcji −5n²+7 Teraz tylko mianownik rozpiszę: n²*³√4+n*³√2*n*³√2+(5/n)−(7/n³)+n²*³√(2+(5/n)−(7/n²))²= =n²*³√4+n²*³√4+n²*³√4=3n²*³√4 zatem:

	−5n2+7		−5
(*)=limn→∞		=
	3n2*3√4		33√4

Czy tak?

Ajtek: Zlituje się ktoś

ICSP: brzydki wynik Nie zostawia się niewymierności w mianowniku

Godzio: ICSP takie rzeczy w LO były

ICSP: Czyli mam sobie zostawiać brzydkie wyniki

Ajtek: Daj spokój ICSP z tą niewymiernością. Cześć Godzio, nie pamiętam czy miałęm w LO granicę takich ciągów. Prostych były. Jak widzisz usiadłęm do przypominania matmy . Teraz możecie się śmiać:

	2		2
√n+2−√n=		= i czy to tak: =		=0?
	√n+2+√n		√1+(2/n)+√n

Ajtek: Nie Tylko już nie chciałe mi się kodować dalej .

Godzio: Jest ok A co do LO chodziło mi o usuwanie niewymierności

Godzio:

1
	→ 0
√n + 2 + √n

Nie wiem skąd ta ostatnia równość (√n + 2 = √1 + 2/n)

Ajtek: Ja też nie Ubzdurało mi się że w mianowniku mam symbol nieoznaczony, a przecież ∞+∞=∞

asdf: √n + 2 = √n(1 + 2/n)

Ajtek: asdf dobrze myślałm źle zapisałem, co nie zmienia faktu iż to niewiele by mi dało, patrz post z 17:28 .

asdf: Wiem o co Ci chodzi, ale w innych przykładach mogło by dać Sam na początku gubiłem liczby w wyłączaniu przed nawias i to mnie denerwowało..

Ajtek: Tutaj źle zapisałem, na kartce mam tak jak Ty napisałeś .

Ajtek: Kolejna granica:

	3		2n+1−1
limn→∞(		)n*		=
	2		3n+1−1

	3		2		2−(1/2n)		2
=limn→∞(		)n*(		)n*		=
	2		3		3−(1/3n)		3

Ma to ręce i nogi? Jakieś formalne błędy w zapisie?

Ajtek: Zerknie ktos? Kolejna sprawa i granica: lim_n→∞ⁿ√3ⁿ+2ⁿ korzystam z tw. o trzech cigach. ⁿ√3ⁿ≤ⁿ√3ⁿ+2ⁿ≤ⁿ√3ⁿ+3^{n n}√3ⁿ≤ⁿ√3ⁿ+2ⁿ≤ⁿ√3ⁿ*2 3≤ⁿ√3ⁿ+2ⁿ≤3 ⇒ lim_n→∞ⁿ√3ⁿ+2ⁿ=3 Czy moje zapisy s poprawne. A moze nalezy jeszcze cos dodac.

Godzio:

Eta: ok

Godzio: To ostatnie przejście (w tej drugiej granicy) 3 ← ⁿ√3ⁿ ≤ ⁿ√3ⁿ + 2ⁿ ≤ ⁿ√2 * 3ⁿ → 3 Zatem: lim_n→∞ⁿ√3ⁿ + 2ⁿ = 3 Ale to takie czepianie się szczegółów

Ajtek: Dziękować .

Ajtek: O takie szczegóły mi właśnie chodzi, jeżeli nie piszę np. pomijam granicę w zapisie itd .

Ajtek: Tak na szybko:

	1
n√10100=1 ⇒ n√		=1 czy tak?
	10100

Godzio: ⁿ√a → 1 dla a > 0 Więc tak.

Ajtek: Tą własność znam, ale nie byłem pewien. Za duże a mi się wydawało

Godzio: Jeżeli "a" jest stałą liczbą nieujemną nie zależną od n, to zawsze to zachodzi

Ajtek: Lepiej dmuchnąć na zimne, niż się oparzyć, czyż nie .

Ajtek: Mam coś takiego, nie piszę granic:

1+a+a2+...+an
	=
1+(1/4)+(1/16)+...+(1/4n)

	1
W liczniku i mianowniku mam ciągi geometryczne. Licznik q=a, mianownik q=		. W mianowniku
	4

	1
wiadomo S=
	1   1−   4

W liczniku muszę rozpatrzyć dwa przypadki gdy |a|<1 i |a|≥1? Chodzi mi o to czy iloraz w liczniku może być ujemny, czy dobrze myślę?

Ajtek:

TriviaI: Zastosuj wzór sumy częściowej.

	1−an+1
∑k=0n ak =
	1−a

	1−an+1   1−a
... =		= ...
	1−(1/(4n+1) )   1−(1/4)

Ajtek: Trivial dzięki, ale do sum jeszcze nie dolazłem w przypominaniu. Mam policzyć granicę. Chodzi mi tylko o to, czy moje myślenie jest poprawne .

Ajtek: Ale jeżeli q=a<−1, to ciąg w liczniku jest rozbierzny, zatem granica nie istnieje. Czyli dwa przypadki |a|<1 i a≥1

TriviaI: W ogólności trzeba rozpatrzyć wszystkie przypadki a. Wzór na tę sumę jest już w liceum przy omawianiu ciągu geometrycznego.

Ajtek: To też wiem. Tylko jak widzę "sigmę" na dzień dzisiejszy, to mnie telepie .

asdf:

	1 − qn
Sn = a1 *
	1 − q

dla mianownika też

Ajtek: asdf w mianowniku |q|<1 . Post z 20:42.

Kuba5093: Taki mały offtopic, z zawodu jesteście nauczycielami ? Niektórzy to chyba jeszcze studenci ale ty Ajtek jak piszesz, że robiłeś to z 10 lat temu to się tak zastanawiam

Ajtek: Gdybym to robił 10 lat temu i był nauczycielem, to bym tutaj nie zadawał takich pytań.

TriviaI:

	1		1
Ajtek, jako że 1+		+		+... zbiega do 'nieosobliwej' liczby rzeczywistej i mamy
	4		16

proste dzielenie, to możesz od razu zapisać:

	1+a+a2+...+an
lim		=
	1   1   1   1+ + +...+   4   16   4n

	1
= lim (1−		)*(1+a+a2+...+an)
	4

Ale z takim zapisywaniem trzeba bardzo uważać.

Ajtek: Dlatego nie chcę w takie rzeczy wchodzić puki co. Wolę elegancko w mianowniku się pobawić, a później na mnożenie przełożyc.

Ajtek: Zresztą moje pytanie nie dotyczy mianownika tylko licznika .

TriviaI: Jeżeli już mamy taki zapis, to rozumowanie prawidłowe.

	1   1−   4
lim ... =		dla |a| < 1
	1−a

lim ... = ∞ dla |a| ≥ 1

Ajtek: Dobra. A moja myśl z 22:20 też jest poprawna?

TriviaI: A wcale że nie!

	1   1−   4
lim ... =		dla |a| < 1
	1−a

lim ... = ∞ dla a ≥ 1 lim ... nie istnieje dla a ≤ −1.

TriviaI: Tak. Mój wpis z 22:45 jest błędny, ten z 22:46 poprawny.

Ajtek: Ale jeżeli q=a<−1, to ciąg w liczniku jest rozbierzny, zatem granica nie istnieje. Przecież to napisałem, tylko znak zły wstawiłem. Winno być q=a≤−1

Ajtek: Analiza długo mi zajęła i nie odświeżyłem .