granica mariusz:

	1
Badanie granicy z definicji a) an =
	n2

∀ε > 0 ∃n_o ∊ N ∀n ≥ n_o |a_n − g| < ε

	1		1
|		| < ε ⇔		< ε
	n2		n2

1 < εn²

	1		1
n2 >		⇒ n >
	ε		√ε

	1
Dla danego ε > 0 istnieje zatem no = [		+ 1].
	√ε

Dobrze?

mariusz:

mariusz:

mariusz:

Godzio:

mariusz:

	(−1)n
A taki przykład: b) an =
	n

∀ε>0 ∃n_o∊N ∀n ≥ n_o |a_n − g| < ε

	(−1)n
|		| < ε, n > 0
	n

(−1)n
	< ε
n

(−1)ⁿ < εn

	(−1)n
n >
	ε

	−1
n√n >
	n√ε

dobrze? czy coś zepsułem

mariusz:

mariusz:

Godzio:

	(−1)n		1
|		| =
	n		n

mariusz: czemu tak?

mariusz: no tak wartość bezwględna

mariusz:

	2
mam jeszcze taki przykład: c) (		)n, widać, że granicą będzie 0. Natomiast aby udowodnić
	3

to z definicji: ∀ε>0 ∃n_o ∊ N ∀n ≥ n_o |a_n − g| < ε

	2
|(		)n| < ε, n > 0
	3

	2
(		)n < ε / log
	3

	2
log2/3		n < log2/3ε
	3

n < log_2/3ε ok?

Godzio: Ok

mariusz:

	1
no to ostatni przykład, ku praktyce: d) an =
	1 + √n

Czyli standardowo: ∀ε>0 ∃n_o ∊ N ∀n ≥ n_o |a_n − g| < ε

	1
|		| < ε
	1 + √n

1
	< ε
1 + √n

1 < ε + √nε 1 − ε < √nε / : ε

1 − ε
	< √n / ()2
ε

	(1 − ε)2
n >
	ε2

ok? I jakbyś mógł wyjaśnić dlaczego ona dążdy do 0? bo √n chyba dąży do 1?

mariusz:

mariusz:

mariusz:

mariusz:

mariusz:

Mila: √n→∞ dla n→∞ Natomiast ⁿ√n→1 dla n→∞

mariusz: a dowód jest prawidłowy?

Godzio: Jest prawidłowy