Kresy michał: Udowanianie kresów Jak udowadniać, że kresy są górne i dolne, konkretnie, że są

	1
ograniczeniem. Np.: dla przykładu:		to wiadomo, że górnym ograniczeniem jest 1, ale
	n + 1

jak to udowodnić. Natomiast dolnego ograniczenia nie ma.

Godzio: Załóżmy, że istnieje inne ograniczenie górne, mniejsze od 1: a < 1. Wtedy

1
	≤ a < 1 /(n + 1)
n + 1

1 ≤ a < n + 1 (zakładam, że n ∊ {0,1,2,....} ) Dla n = 0 1 ≤ a < 1 sprzeczność, zatem nie istnieje ograniczenie mniejsze od 1.

michał: A nie trzeba by wkorzystać ε? Bo coś takiego czytałem. Mógłyś dać jakieś przykłady do przećwiczenia ?

Godzio: To spróbuj może taki przykład:

	(n + 1)2
A = {		: n ∊ ℕ }
	2n

Wsk. 2ⁿ > (n + 1)³ dla n ≥ 11

michał:

michał:

	1
Może coś łatwego na początek ? Może		?
	n4 + 1

michał:

	1
Widzimy od razu, że kresami		górnymi jest: 1, natomiast kresem dolnym jest 0.
	n4 + 1

	1
Udowodnijmy wpierw, że kresem dolnym jest 0. Otrzymamy wówczas:		≥ ε > 0 ⇒
	n4 + 1

	1		1		1
1 ≥ ε * n4 + 1 / : ε ⇒		≥ n4 + 1 ⇒		− 1 ≥ n4 ⇒ 4√		− 1 ≥ n i co
	ε		ε		ε

teraz?

Godzio: Czyli dla n ≥ ⁴√1/ε − 1 Pokazaliśmy, że istnieje taki n, że następne wyrazy są już bliskie 0 o mniej niż ε, a z tego już wynika, że 0 jest kresem

michał: a dlaczego wynika ? mógłbyś to rozpisać Bo chciałbym wszystko rozumieć.

michał: i się chyba pomyliłeś bo jest n ≤ ⁴√1/ε − 1

Godzio: Chwila, chwila, nie zobaczyłem, że źle oszacowałeś.

	1		1		1		1		1
0 <		<		<		< ε ⇒ n >		, zatem biorąc N = [		] + 1
	n4 + 1		n4		n		ε		ε

każdy kolejny wyraz jest dostatecznie blisko 0 i jednocześnie mniejszy od ε. lim a_n = 0. Granica jest największym ograniczeniem dolnym tego ciągu

michał: dlaczego źle oszacowałem?

michał: a jest jakiś schemat na to oszacowanie?

Godzio: Jeżeli chce się pokazać, że kresem dolnym jest 0. To szacuje się przez ε i pokazuje, że rzeczywiście istnieje takie N, że wyrażenie staje się dowolnie małe

michał: i jak oczacujemy tak jak ty wyżej [to zabieramy potem tylko to najmniejsze oszacowanie?]. I

	1
wyciągamy z niego Cechę i dodajemy 1? Tylko czemu ma służyć N = [		] + 1?
	ε

Godzio: Żeby pokazać, że istnieje taki N, należy go wskazać konkretnie

michał:

	1
A jest jakiś może schemat do tego? Bo na wykładzie pokazywali, aby robić ε >		w
	n4 + 1

tym wypadku.

Godzio: No to w taki sposób zrobiliśmy

Godzio: A schematu ogólnego nie ma, czasem trzeba na coś wpaść i tyle.

michał:

	1
Ok to w takim razie: A = {		, n ∊ R}. Widać, że ograniczeniem od góry jest 1,
	n4 + 1

natomiast od dołu 0. Udowodnijmy wpierw, że kresem górnym jest 1. Zapiszmy nierównośc:

	1
		≤ ε < 1 / * (n4 + 1) ⇒ 1 ≤ ε < n4 + 1, założmy, że n = 0, gdzie n ∊ R
	n4 + 1

otrzymujemy wtedy 1 ≤ ε < 1 zatem sprzeczność. Zajmijmy się teraz ograniczeniem od dołu.

	1		1		1		1
Zauważmy, że		<		<		< ε. Rozpiszmy teraz		< ε ⇒ 1 < n * ε
	n4 + 1		n4		n		n

	1
⇒		< n. Biorąc kolejny, co raz większy element jest on bliżej zera i jednocześnie
	ε

	1
mniejszy od ε. Zatem 0 jest najmniejszym ograniczenie ciągu. N = [		] + 1.
	ε

koniec?

michał:

michał: Tylko dlaczego 1 ≤ ε < 1 jest sprzecznością? Bo dla n = 1 już będzie sprzecznością. Więc dla 0 jest chyba dobre, wzorowałem się na Twoim górnym poście.

michał:

michał:

michał:

Godzio: Ma działać, dla każdego n, a znaleźliśmy taki n że już nie działa

michał: ale, że jak nie działa jak założyliśmy, że jeden jest większe od epsilona?

kambik: zakładając, że n ∊ {0,1,2,....} możemy napisać: n≥0 n+1≥1 dzielimy obustronnie przez n+1 i mamy 1≥ 1/(n + 1) 1/(n + 1)≤1 czyli sup=1

kambik: Natomiast kres dolny to granica... czyli 0 więc inf=0

michał: nie mogę stosować granic; Godzio mógłyś dokończyć?

Godzio: Ale jednocześnie 1 ≤ ε więc epsilon jest równy jedynce lub większy, a chcieliśmy, żeby był mniejszy prawda ?

michał: i jak tak zostawie to dowód będzie dobry? to co napisałem?

	1		1
a gdyby było A = {		+		: n, k ∊ R} To widzę, że kresem górnym jest 2 natomiast
	n		k

	1		1
dolnym 0. Udowodnię wpierw, że kresem gónym jest 2. Otrzymujemy zatem:		+		≤ ε <
	n		k

2 ⇒ k + n ≤ ε < 2nk, podstawmy przykładowe n = 0 i k = 0, gdzie n,k ∊ R. Otrzymamy wówczas 0 ≤ ε < 0 otrzymujemy wówczas sprzeczność, zatem kresem górnym rzeczywiście jest dwójka. Zajmijmy się teraz kresem dolnym, pokażemy, że nie będzie żadnego elementu mniejszego od niego:

1		1		1		1
	+		<		< ε, zatem otrzymujemy		< n. Ponownie biorąc kolejny wyraz
n		k		n		ε

będzie on z każdym krokiem bliżej zera, zatem dolnym ograniczeniem jest 0. Co możemy zapisać w

	1
następującej postaci: N = [		] + 1.
	ε

Może być?

michał:

michał:

Artur ..... : yyyyyy na pewno jest n,k ∊R jezeli tak to życzę powodzenia w szukaniu kresów (nie ma ich)

Artur ..... : a kresu dolnego dowód jest bzdurny ... jak chcesz podstawiac n=0 i k=0

	1		1
wtedy masz element		+		... proszę Cię ... pomyśl trochę ... do wykladowca widząc
	0		0

takie 'kwiatki' by juz miał kandydata do oblania

Artur ..... :

	1		1		1
niby dlaczego		+		<		... (dla dowolnego n,k ∊R)
	n		k		n

	1		1		1
od kiedy		+		<
	2		3		2

michał: tak n,k ∊ R. To jak udowodnić kres dolny? Nie mam wprawy w tym i nie wiem od czego zacząć

michał: znaczy: n,k ∊ N

michał: Mógłbyś pokazać, jak należy takie zadania udowadniać?

Artur ..... : no to jest róznica pomiędzy N a R ... nie sądzisz

michał: tak

Artur ..... : kres górny:

	1		1
na podstawie jakiegokolwiek kryterium podajesz że ciąg		oraz ciąg		to ciągu
	n		k

malejące stąd wniosek, że maksymalny element jest dla n=k=1 ... i juz masz kres górny wyznaczony i udowodniony

Artur ..... : kres dolny: dla n,k∊N jak najbardziej tak można chociaż nie widzę dowodu dlaczego akurat 0 ... a nie −1 będzie kresem dolnym

michał:

	1		1
a można by dać dowód: infA + ε >		+		? czyli:
	n		k

	1		1
ε >		+
	n		k

tylko potem nie wiem co dalej zrobić

Artur ..... : a niby w jaki sposób przechodzisz, z infA + ε > 1/k + 1/n do ε > 1/k + 1/n bez założenia że inf(A) = 0

michał: ok, ale pomysł dobry? mógłbyć ewentualnie pokazać jak to dalej pociągnąć ?

michał:

michał: