Wykaż, że funkcja y = sin(p{2}x) + sin(2x) nie jest okresowe. Kamil: Wykaż, że funkcja y = sin(√2x) + sin(2x) nie jest okresowa.

Artur_z_miasta_Neptuna: poziom liceum czy studia

Kamil: To zadanie jest z książki I liceum. Z funkcjami, które są okresowe nie miałem większych problemów, aby wyznaczyć powiedzmy okres podstawowy funkcji. Tutaj funkcja nie ma okresu, tylko jak to wykazać.

AC: Okres pierwszego sinusa: s₁ = √2k₁π drugiego: s₂ = k₂π gdzie k₁;k₂∊ C żeby istniał okres sumy tych sinusów to: to dla pewnych k₁ i k₂ s₁=s₂ czyli

	k2
√2k1π = k2π ⇒ √2k1 = k2⇒ √2=		co oznaczałoby że liczba √2 jest wymierna
	k1

co jest nieprawdą cnu.

PW: Myślę nad tym zadaniem już drugi dzień. Zupełnie poważnie (nie znam odpowiedzi) zapytam: − dlaczego z faktu, że suma dwóch funkcji jest okresowa, ma wynikać cokolwiek o okresowości składników? Przykład: f(x) = x + sinx g(x) = −x + sinx f(x) + g(x) = 2sinx − funkcja okresowa, ale z tego faktu nie wynika nic o okresowości składników (wcale nie były funkcjami okresowymi). Dlatego proszę o uściślenie − jak uzasadnić zdanie "żeby istniał okres sumy, musi istnieć wspólna całkowita wielokrotność okresów". Chyba zbyt łatwo przyjęliśmy oczywistość tego stwierdzenia. Jest prawdą, że jeśli dwie funkcje są okresowe i ich okresy maja wspólną wielokrotność, to suma jest okresowa. Tu jednak mamy wykazać twierdzenie przeciwstawne: jeśli okresy nie mają wspólnej całkowitej wielokrotności, to suma nie jest okresowa.

Jack: ich "powtarzalności" muszą się zgrać, skoro obie są "powtarzalne" (okresowe). Tymczasem nigdy się nie zgrają, czyli nigdy nie osiągną tych wartości które wcześniej (względem siebie) osiągały. "dlaczego z faktu, że suma dwóch funkcji jest okresowa, ma wynikać cokolwiek o okresowości składników" −−− problem przez AC został inaczej postawiony, odwrotnie. Lepiej tu pasuje analogia taka: mamy liczby 2k oraz 5l, gdzie k,l∊N₊. Jakiej postaci muszą być liczby k,l aby zaszła równość 2k=2l?

agaaa: agaaa: z tali liczacej 52 karty wyciagamy 1 i wrzucamy do drugiej tali. Nastepnie po przetasowaniu talii wyciagamy 1 karte. Jaki jest prawdopodobienstwo ze to bedzie as?

pigor: ... , Wykaż, że funkcja y = sin(√2x)+sin(2x) nie jest okresowa. ... , a więc podsumowując powiem chyba krótko tak : ponieważ liczby √2 i 2 nie są współmierne, czyli nie istnieje NWW

	2π		2π
( Najmniejsza Wspólna Wielokrotność) okresów		i		,
	√2		2

odpowiednio funkcji y=sin(√2x) i y= sin(2x), to dana funkcja f będąca ich sumą nie jest (nie może być) okresowa . ...

PW: Przypuśćmy, że suma sin√2x + sin2x ma okres T. Wówczas dla dowolnej rzeczywistej x byłoby (1) sin √2(x+T) + sin 2(x+T) = sin √2x + sin 2x, w szczególności dla x=0 sin √2(0+T) + sin 2(0+T) = sin √2^.0 + sin 2^π.0, sin √2T + sin 2T = 0

	(2+ √2)T		(2 − √2)T
2 sin		cos		= 0,
	2		2

to znaczy

	(2+ √2)T		(2 − √2)T
sin		= 0 lub cos		= 0,
	2		2

czyli dla pewnej naturalnej k

	(2+ √2)T		(2 − √2)T		π
		= kπ lub		=		+ kπ,
	2		2		2

a więc liczba T musiałaby spełniać warunek

	2kπ		(2k+1)π
T =		lub T =
	2 + √2		2 − √2

	π
(2) T = (2 − √2)kπ lub T = (2 + √2) (2k + 1)		.
	2

Sprawdźmy, czy dla T = (2 − √2)kπ spełniony jest warunek (1). sin √2(x+T) = sin [√2(x + (2 − √2)kπ)] = = sin(√2x + 2√2kπ − 2kπ) = sin(√2x + 2√2kπ); sin 2(x + T) = sin [2x + 2(2 − √2)kπ] = sin [2x + 4kπ − 2√2)kπ] = = sin (2x − 2√2)kπ); lewa strona (1) jest więc równa sin(√2x + 2√2kπ) + sin (2x − 2√2)kπ) =

	(√2+2)x		(√2 − 2)x
= 2 sin		cos [		+ 2√2kπ];
	2		2

prawa strona (1) jest równa

	(√2 + 2)x		(√2−2)x
2 sin		cos		,
	2		2

a więc równość (1) oznacza

	(√2+2)x		(√2−2)x
2 sin		cos [		+ 2√2kπ] =
	2		2

	(√2 + 2)x		(√2−2)x
= 2 sin		cos		.
	2		2

Aby była ona prawdziwa dla wszystkich x, liczba 2√2kπ musiałaby być okresem funkcji cosinus, co nie jest prawdą. Pokazaliśmy, że z założenia okresowości sumy sin √2x + sin 2x wynika fałsz, a więc założenie było fałszywe. Pokazanie, że druga z liczb T w (2) również nie może być okresem badanej sumy, pozostawiam Czytelnikowi. Oj, nie jest to zadanie licealne, nawet na poziom rozszerzony. Panowie, którzy upierali się, że AC podał poprawny dowód. Jeszcze raz powtarzam: nie podał dowodu omawianego zadania. Podał twierdzenie (prawdziwe dla wszystkich funkcji okresowych): jeśli dwie funkcje okresowe mają okresy o wspólnej całkowitej wielokrotności, to ich suma jest okresowa. Potem w niejasny sposób wyciągnął z tego wniosek, że skoro okresy nie mają wspólnej wielokrotności, to suma nie jest okresowa. Utożsamił więc twierdzenia p⇒q i ∼p⇒∼q, co jest oczywistym błędem logicznym. Dziwi mnie, że podany kontrprzyklad nie przekonał niektórych.

Kamil: Przerobiłem praktycznie wszystkie zadania z tego zbioru zadań. To zadanie jest charakterystyczne. Jedno z tych, które nie wiedziałem nawet jak zacząć. Przeprowadzenie dowodu nie wprost to chyba jedyny ratunek. Podobne zadanie znalazłem również na poziomie olimpijskim. Swoją drogą mało jest w internecie o okresowości funkcji. Jedna definicja i to wszystko. W książkach tych co ja mam też nie wiele − piszą jedynie, że okres zasadniczy sinusa to 2π i to wszystko w tym temacie. Inna sprawa. pigor Właśnie odnośnie tej zasady NWW dwóch okresów. Skąd to się bierze ? Na jakiej podstawie tak twierdzimy, że jest. Owszem ta zasada działa, tylko gdzie jest jakieś twierdzenie, że "Dwa okresy są współmierne, to NWW tych okresów jest okresem funkcji. " I pytanie czy zasadniczym czy jakim okresem ? Co wtedy, kiedy funkcja jest okresowa a nie ma okresu podstawowego?