Pomoć w ciągach Spike: Kilka przykładów ciągów podanych przez nauczyciela do rozwiązania w ramach przygotowania do kartkówki.

	3n
1) lim(		)n+1
	3n+1

	n2
2)lim(		)−n2
	n2+1

3)lim(√2n²−n−√n)

	n2+3n−1
4)lim(		)
	n2+1

	2n+3n+1
5)lim(		)
	2n+1+3n

Prosiłbym chociaż o wskazówki.

Spike: Na razie tak: w 4 jako odpowiedź wyszło mi "1", w 2 "e".

Spike: W trzecim mam problem, bo mianownik wychodzi mi równy zero, co jest niemożliwe.

Mariusz: mi sie wydaje że wyjdzie do + nieskończoności

Mariusz: tak powinno być

Spike: Znaczy się: tutaj chodzi o granicę ciągów, a to się oblicza. To, że ciąg będzie szedł do nieskończoności to prawda, ale mi chodzi o obliczanie liczby "e", i granicy.

Spike: .

Bogdan: Rozwiązuję kolejno

Bogdan: Umowa: wszędzie pod lim jest n→∞, ale nie będę tego pisał.

	3n		3n + 1 − 1
1. lim(		)n+1 = lim(		)n+1 =
	3n + 1		3n + 1

	1
= lim [ (1 +		)−3n−1 ]k = lim ek = e−3
	−3n−1

Obliczenia pomocnicze:

	−3n − 1		1   n(−3 − )   n
(−3n − 1) * k = n + 1 ⇒ k =		=
	n + 1		1   n(1 + )   n

lim k = −3

Bogdan: 2. Podobnie jak 1. 3. Proszę sprawdzić poprawność zapisu. 4. Wyłącz w liczniku i w mianowniku przed nawias n² Zaraz podam 5

Bogdan:

	2n + 3n+1		2n + 3*3n
5. lim		= lim		=
	2n+1 + 3n		2*2n + 3n

	2   3n( ( )n + 3)   3
= lim		= 3
	2   3n( 2*( )n + 1)   3

	2
Uwaga: lim (		)n = 0 przy n→∞
	3

Spike: Właśnie w trzecim też się nad tym zastanawiałem, bo zrobiłbym to poprzez "zastosowanie" wzr. skr. mnożenia (a−b)(a+b)=a²−b², ale zostaje tam "n" w liczniku, albo, zależnie do ktorej potęgi spróbuję n wyciągnąć spod pierwiastków w minowniku, 0 w mianowniku, czego nie można robić. Przykład przepisany jest na pewno dobrze, możliwe, że nauczyciel się pomylił skoro i tobie coś nie pasuje.

Spike: Btw. pierwszego: tam n+1 nie powinno być w liczniku? (−3n−1)k=n+1 /(−3n−1)

	n+1
k=		itd.
	−3n−1

Bogdan: 3. Granice ciągów przy n→∞ typu lim (√a − √b) lub lim (√a + √b) rozwiązuje się następująco:

	√a + √b		a − b
lim [(√a − √b) *		] = lim
	√a + √b		√a + √b

oraz

	√a − √b		a − b
lim [(√a + √b) *		] = lim
	√a − √b		√a − √b

Bogdan: Ad. 1. Tak, masz rację, odwróciłem ułamek, popraw sam. Myślę, ze wiesz już o co chodzi z tym typem granic. Ad. 3. Tak też może być, przelicz ten przykład i podaj wynik, porównamy wyniki.

Bogdan: W trzecim otrzymałem ∞

Spike: Hmm, w 3 wyszło mi teraz √2n. Granica może mieć taką postać?

Spike: Acha, więc √2n > ∞, tak? zbliża się do neiskończoności

Spike: No dobra, ja mykam jeszcze się tego pouczyć. Dzięki wielkie za pomoc i wskazówki.

Bogdan: Ad 3. Tak, bo n→∞

Mariusz: Bogdan mógłbys spojrzeć na to zadanko bardzo mi zalezy https://matematykaszkolna.pl/forum/16344.html