granice maniek: Oblicz granice: a) a_n = ⁿ√1²⁰¹² + 2²⁰¹² + 3²⁰¹² + ... + n²⁰¹²

	sin2n * n
b) an =
	2n

a) ⁿ√n²⁰¹² ≤ a_n ≤ ⁿ√n * n^{2012 n}√aⁿ = 1 Zatem a_n → 1

	−n		n
b)		≤ an ≤
	2n		2n

i jak to dalej?

maniek: Proszę o sprawdzenie a) i pomoc przy b)

ICSP: a) ⁿ√aⁿ = 1 To jakieś bzdury

	n
b) Musisz pokazać że		idzie do 0 przy n idącym do nieskończoności . Ja bym to zrobił z
	2n

twierdzenie Stolza

maniek: a) tak tutaj się pomyliłem ale 1 z tego będzie Dokładnie wzorku nie pamiętam jak go zapisać b) nie miałem tego twierdzenia

ICSP: Szeregi miałeś ?

maniek:

ICSP: No to ja proponuję zrobić tak : Narysować w układzie współrzędnych funkcje y = n oraz y = 2ⁿ . I napisać coś w tym stylu : " Jak widać na załączonym rysunku funkcja y = 2ⁿ szybciej idzie do nieskończoności od funkcj y

	n
= n dlatego lim		= 0 dla n −> ∞"
	2n

Jest jeszcze inny sposób − pokazanie wprost z definicji ale w tym sposobie już Ci niestety nie pomogę

maniek: a mógłbyś pokazać, jakby miałoby być to z szeregów?

ICSP: z szeregów bardzo prosto :

	n
mamy an =
	2n

tworzymy wiec szereg : ∞ ∑ a_n n=1 i sprawdzamy jego zbieżność z kryterium Cauchego :

	1
lim n√an =		< 1 zatem szereg jest zbieżny. Skoro jest zbieżny to spełnia również
	2

warunek n →∞ konieczny zbieżności szeregów : lim a_n = 0 n→∞

maniek: ok, mniej więcej rozumiem, jeszcze pytanie mam do przykładu:

n2 + n + 1
	jakie zrobić oszacowanie, aby móc skorzystać z tw. o 3 ciagach?
(n + sinn)2

ICSP:

n2 + n + 1		n2 + n + 1		n2 + n + 1
	≤		≤
(n+1)2		(n + sinn)2		(n−1)2

maniek:

n2 + n + 1		n2 + n + 1
	≤ an ≤
(n + 1)2		(n − 1)2

	n2 + n + 1		1   1   1 + +   n2   n2
limn→∞		=		=1
	n2 + 2n + 1		2   1   1 + +   n   n2

	n2 + n + 1		1   1   1 + +   n   n2
limn→∞		=		= 1
	n2 − 2n + 1		2   1   1 − +   n   n2

Zatem: a_n → 1, ok?

maniek: A można jakoś łatwo taką granicę obliczyć: c_n = ⁿ√n² ?

maniek:

kylo1303: Można, g=1. lim ⁿ√n=1