Limesy Basiek: Mam taki limes do obliczenia:

	3−(−1)n
an=		przy lim→+∞
	n√2

Niestety, nie wiem, jak ugryźć to −1. Mogę liczyć na podpowiedź?

Godzio: Idź po parzystych i nieparzystych "enach". Dojdziesz do tego, że granica nie istnieje

Basiek: Tzn. widzę, że to będzie: 3,−3,3, −3, 3, −3,.... i tak w koło Macieja..., tylko jak to zapisać?

AC: lim a_2n ≠ lim a_2n+1

Kejt: Baaasiaa

Basiek: AC− dziękuję. Teraz lepiej. Godzio− Tobie też. Kejt− część, dawno Cię nie 'widziałam'.

Basiek: Mogę jeszcze jedno pytanko? Mam taki przykład:

	n		nπ
an=		*sin(		)
	n+1		2

Basiek:

	n
Wiem, że		→1
	n+1

	nπ
z kolei sin(		) jest ograniczony w przedziale [−1,1]
	2

Czy to oznacza, że ciąg a_n nie ejst zbieżny i nie ma granicy?

Godzio: Znów można po parzystych i nieparzystych

Basiek: Ech, jak to się stało, że przerobiliśmy najprostsze przykłady, z których każdy miał limes, a cała reszta została do zrobienia samodzielnie i nie ma do nich odpowiedzi? Czuję się znów jak w LO... Dzięki, Godzio.

Godzio:

Basiek: Hm, jeszcze... mogłabym prosić, żeby ktoś znalazł błąd w tym krótkim przykładzie? dla lim→∞

ln(2n+en)		ln 2n * ln en		n* ln 2n
	=		=		= ∞
n		n		n

A wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bln%282%5En%2Be%5En%29%2Fn%5D+as+n+to+inf :( Tak, wiem, że przynudzam.

Godzio: Tak, log(a + b) ≠ log(a) * log(b)

Basiek: Hm, racja− odwrotnie log a+ log b= log(a*b) Cóż... Dziękuję. Jakkolwiek, teraz nie mam pomysłu jak to tknąć. Nawet patykiem.

Godzio:

	ln(en)		ln(en + en)		ln2 + ln(en)
1 ←		≤ ... ≤		=		→ 1
	n		n		n

... → 1

Basiek: Ma−sa−kra. Zapewne bym na to wpadła. Dzięki. Chyba sobie póki co daruję limesy.

Basiek: Nie no, już ostatnie pytanie i daję spokój. Czy jest twierdzenie, które mówi, że jeśli jakiś ciąg (a_n) jest iloczynem dwóch ciągów (b_n,c_n) i jeden z nich jest ograniczony, a drugi dąży do nieskończoności, to a_n także dąży do nieskończoności? [Właśnie stworzyłam na potrzeby przykładu, ale kto wie, może i taki jest...?]

Godzio: c_n = (−1)ⁿ b_n → ∞ Granica a_n nie istnieje pudło

Godzio: Ale za to, gdybyś dodała założenie że ciąg ograniczony jest dodatni, to już działa

Basiek: Doszłam do podobnych wniosków. Bo jeśli np. b_n→∞ i c_n→2 to ok. a_n→∞, ale co z c_n→ −2? Ech, to nie umiem. Moje teorie są fałszywe. Kurczę. A być może Nobel się szykował...

Basiek: Właśnie nie mam takiego takiego założenia. Trafia mnie.

Godzio: Podaj może zadanie, będzie prościej

Basiek: Ono na bank jest proste, tylko ja nie umiem.

	1
an=(n2−1)* sin(		)
	n−1

AC: c_n nie może dązyć do zera. Przykład:

	1
cn =		→ 0
	n2

b_n = n → ∞

	1
an =		→ 0
	n

Godzio:

	sinx
Miałaś już coś w stylu, że		→ 1 gdy x → 0
	x

Basiek: Hm, wiesz, póki co we wszystkich ciągach i granicach x→∞, poza tym, dowiedziałam się, że "mam

	coś
unikać postaci [		], bo trzeba stwierdzić, czy 0+, czy 0−.
	0

Cóż, moja wiedza kuleje. Podejrzewam, ze trzeba jakoś ograniczyć itd. Tylko w tym zad. nie ma jako tako mianownika, który mogłabym przesunąć... [o ile rozumiesz, o co mi chodzi] i 'doczepić' do sinusa...

AC: dla x > 0

	1
x−		x3 < sinx
	6

	1
u nas x=
	n−1

	1		1
⇒ (n2 − 1)		(1 −		) < an
	n−1		6(n−1)2

dalej przekształcając lewą stronę

	1
(n + 1)(1 −		) < an
	6(n−1)2

i juz widać że lewa strona dąży do nieskończoności czyli a_n też musi.

Godzio:

	1
x −		x3 < sinx − to może być trochę nie jasne , ale myślę, że jak Basiek poczyta
	6

o szeregach Maclaurina to będzie wiedzieć skąd ta nierówność

Basiek: O Boże... Masakra. Naprawdę nie ma prostszego sposobu? Przecież.... no masakra.

AC: ano dokładnie, tutaj masz wykresy sinusa i kolejnych przybliżeń http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/187/maclaurin-sin.pdf

Basiek: Skąd ona wytrzasnęła te przykłady?... Wybacz, chyba jednak nie do końca jestem w stanie ogarnąć, dlaczego wziąłeś akurat 1/6, a nie 1/100000 np. Nie, po prostu... nie.

AC: Nie ja wziąłem 1/6 tylko Maclaurin

Basiek: Mądry gość... Z tego, co sobie doczytałam− wykombinował to z całek, czy coś. Całek też jeszcze nie miałam. Wydaje mi się, że jakoś ominę ten przykład, bo to jest kwestia... w zasadzie− zrozumienia. Skoro nie rozumiem, to całe to gapienie się w rząd dziwnych wyprowadzeń jest bezsensem totalnym. Nie odczuwam potrzeby posiadania tej wiedzy w ogóle. Dziękuję bardzo za ten przykład. No i udowodnienie jak niewiele wiem.

Mila:

	sin(1/(n−1)		sin(1/(n−1))
(n+1) *		→∞ bo (n+1)→∞ i		→1
	1/(n−1)		1/(n−1)

	1   sin   n
		→1
	1   n

Godzio: Wykombinował bardziej z pochodnych

Basiek: Mila− nawet nie wiesz, jak się cieszę, że tu jesteś.

	1   sin( )   n−1
Możesz wyjaśnić mi, dlaczego		→1 ?
	1/(n−1)

Licznik jest ograniczony,z kolei mianownik... dąży do zera ...I nie wiem, skąd się bierze ta jedynka.

Mila: Przyjmij to jako udowodnione, przy szeregach w Krysickim jest dowód z definicji granicy. Napisałam Ci wyrażenie ( z piętrusami) pod granicą−ostatnia linijka 22:32.

	sinx
limx→0		=1 przyjmij do wiadomości− dowód będziesz miała, albo każą Ci w to uwierzyc.
	x

Basiek: Przyjmuję do wiadomości! Jeszcze odgrzebię w Krysickim, ale to chyba jutro. Dziś już całkowicie nic mi nie idzie z tej matematyki. Martwi mnie tylko jedna rzecz tu.... x→0, a u mnie x→∞. Ale wierzę na słowo, ze tak musi być. I dobrze. To wykorzystanie szeregu Maclaurina mnie dobiło. DZIĘKUJĘ!

Mila:

	1
Basiek przecież		→0. Nie widzisz? Daj sobie spokój z szeregiem.
	n

Basiek: Tak! Teraz łapię, skupiłam się na wstawianiu do tego sinusa jeszcze niewiadomej... to dlatego. Umiem sobie skomplikować życie.

AC: Przecież Godzio chciał tak zrobić, ale Basiek nie znał tej granicy i stąd to rozwiązanie z nierównością x−1/6x³ < sinx którą też można przyjąć na wiarę.

Basiek: Godzio zapytał mnie, czy coś takiego miałam/ widziałam. Tak przynajmniej to zrozumiałam. Nie, nie miałam, nie, nie widziałam. Teraz już widziałam i umiem. Nikt nie rodzi się geniuszem..., a ja to nawet geniuszem nie umrę.

AC: Można też bez tych granic: można wykazać taką nierówność x < tg x dla x∊(0; π/2) stąd xcosx < sinx x=1/(n−1)

	1
(n2−1)*1/(n−1)cos		< an
	n−1

	1
(n+1)*cos		< an
	n−1

	1
(n+1)→∞ oraz cos		→1 czyli lewa strona →∞ ⇒ an→∞
	n−1

Basiek: Wow... mądrze. Dziękuję. Chociaż zdecydowanie nie mój poziom [nie wpadłabym na takie rozwiązanie], aczkolwiek ... dzięki.