Wykaż, że p3{5p{2}+7}-p3{5p{2}-7}=2 Atroox: Wykaż, że ³√5√2+7−³√5√2−7=2

kylo1303: Wyrazenie po lewej jest na pewno dodatnie, wiec moznaby podniesc stronami do 3ciej potegi. Ewentualnie probowac wyrazenia pod pierwiastkiem przeksztalcic do jakiegos wzoru skroconego mnozenia. To tak na pierwszy rzut oka.

Atroox: Próbowałem to obliczyć tak: ³√5√2+7−³√5√2−7=2 ³√5√2+7−³√5√2−7=x / ³ (³√5√2+7−³√5√2−7)³=x³ i teraz można by chyba policzyć z wzoru skrocenego mnozenia ale nie jestem pewien.

kylo1303: No mozna probowac, tylko sporo liczenia i nie wiem czy wyjdzie. Czasami dobrze jest zrobic to ciut inaczej: ³√5√2+7=2+ ³√5√2−7 // ³ (tak zebys nie mial odejmowania )

kylo1303: ale tak jbc w tym przykladzie raczej tego nie przenoś na druga strone bo bedzie chyba gorzej (pisalem ogolnie)

Piotr: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%285*sqrt%282%29%2B7%29%5E%281%2F3%29

kylo1303: czyli tak jak pisalem na poczatku trzeba rozbic sobie: 5√2+7=1+3*1*√2+3*(√2)²*1+(√2)³=(1+√2)³ wiem wiem, teraz to kazdy sobie rozwiaze

Atroox: Teraz ogłupiałem

Atroox: @kylo1303 jesteś w stanie mi wytłumaczyć jak to rozbiłeś?

kylo1303: Tzn czesto mozna sie spotkac z takim zadaniem jak jest pierwiastek kwadratowy. Bo z szesciennym jest o tyle trudniej ze ciezko to zauwazyc: 5√2+7= 2√2+3√2+6+1 1=1³ 2√2=(√2)³ 6=3*(√2)²*1 3√2=3*1²*√2 I tutaj stosujemy wzor skroconego mnozenia: (a+b)3=a³+3a²b+3ab²+b³ Mam nadzieje ze widac.

Godzio: Bardziej po ludzku: a = 5√2 + 7 b = 5√2 − 7 Co wiemy ? a * b = 1 a − b = 14 ³√a − ³√b = x /³ a − 3³√a²b + 3³√ab² − b = x³ a − b − 3³√ab(³√a − ³√b) = x³ [Tutaj mamy wszystko dane ] 14 − 3³√1 * x = x³ x³ + 3x − 14 = 0 Sprawdzamy czy 2 jest rzeczywiście rozwiązaniem: W(2) = 2³ + 3 * 2 − 14 = 0 czyli wyszło, że jest, pozostaje sprawdzić czy nie ma innych rzeczywistych rozwiązań: x³ + 3x − 14 = (x − 2)(x² + 2x + 7) Δ < 0 więc brak rozwiązań. Co kończy dowód

Atroox: Dzięki przeanalizuje sobie wszystko