nierówność nina78: mam taki przykład:

1		2x
	<
2x+2		2x−1

D: 2^x+2≠0 2^x−1≠0 sprzeczne x≠1 robię podstawienie 2^x=t , t>0

1		t
	<
t+2		t−1

.... (t+2)(t−1)(−t²−t−1)<0 t₁=−2 t₂=1 Δ<0brak rozwiązań t∊(1, +∞) nie wiem co dalej czy mam teraz rozwiązać 2^x>1 ⇔ x>0 pomarańczowe to moje "niepewne" więc proszę o komentarz czy dobrze to rozumiem

loitzl9006: z tego, że 2^x−1≠0 wynika, że x≠0, a nie x≠1 (wiesz czemu, czy wyjaśniać?) nierówność 2^x+2≠0 jest spełniona dla każdego x rzeczywistego − tutaj nic nie "wyrzucasz" z dziedziny zatem dziedzina to x∊R\{0} t∊(1;+∞) to się zgadza czy mam teraz rozwiązać 2^x>1 ⇔ x>0 tak, trzeba tak właśnie rozwiązać Odpowiedź to x>0

nina78: wszystko jasne , dziękuję bardzo a tak na marginesie jeśli t∊(2, 3)∪(4,+∞) to rozwiązuje : 2^x>2 ∪ 2^x<3 ∪ 2^x>4

loitzl9006: Nie całkiem Trzeba rozwiązać: (2^x>2 ∩ 2^x<3) ∪ 2^x>4 (ważny jest ten nawias) teraz to samo, ale innymi słowy: rozwiązujesz najpierw 2^x>2, potem 2^x<3 i bierzesz część wspólną obu rozwiązań następnie rozwiązujesz 2^x>4 i bierzesz sumę tej wcześniejszej części wspólnej i rozwiązania 2^x>4 jasne to jest?

nina78: a czemu część wspólną?

loitzl9006: Prostszy przykład (niezwiązany bezpośrednio z zadaniem), który (mam nadzieję) to wyjaśni. Załóżmy, że liczba t należy do przedziału (2;3). Teraz opiszemy to dwiema nierównościami. Liczba t musi spełniać zarówno nierówność t>2, jak i t<3. Więc między nimi jest ∩ (odpowiednik spójnika logicznego "i"). Bo gdyby spełniała t>2 ∪ t<3 (jak napisałaś) to wtedy t mogłoby być dowolną liczbą rzeczywistą czyli t∊R

nina78: teraz już rozumiem

nina78: a takie zadanie: dla jakich m∊R (m−1)4^x−4*2^x+m+2=0 ma dwa różne rozwiązania? robię podstawienie 2^x=t, t>0 (m−1)t²−4t+m+2=0 równanie ma 2 różne pierwiastki gdy 1. jest fun. kwadratową więc a≠0 2.Δ>0 1' m−1≠0 ⇔ m≠1 2' 16−4(m−1)(m+2)>0 −4m²−4m+24>0 m²+m−6<0 m₁=−3 m₂=2 m∊(−3,2) ostatecznie m∊(−3,1)∪(1,2) i czy to już

pigor: ... , lub np. tak :

1		2x
	<		/ *(2x+2)(2x−1)2 i2x≠1 ⇔
2x+2		2x−1

⇔ (2^x−1)²< 2^x(2^x+2|)(2^x−1) i x≠0 ⇒ (2^x−1)²− 2^x(2^x+2|)(2^x−1)<0 ⇔ ⇔ (2^x−1)(2^x−1−2^2x−2*2^x)< 0 ⇔ − (2^x−1)(2^2x+2^x+1)< 0 ⇔ 2^x−1 >0 ⇔ ⇔ 2^x > 1 ⇔ 2^x >2⁰ ⇔ x>0 ⇔ x∊(0;+∞) . ...

loitzl9006: Co do zadania z "m": to jeszcze nie koniec, bo brakuje Ci warunku na to, żeby równanie (m−1)t²−4t+m+2=0 miało dwa różne dodatnie rozwiązania (bo przecież ma być t>0 jak zresztą napisałaś) skorzystaj ze wzorów Viete'a.

nina78: z ostatniego warunku wyjdzie m∊(1, +∞) ostatecznie m∊(1, 2) Ostatnia rzecz o którą "dziś" proszę funkcja y=f(m) przyporządkowuje każdej wartości m∊R liczbę rozwiązań równania j.w. Narysuj wykres funkcji. w ogóle tego nie pamiętam

loitzl9006: ostatecznie m∊(1, 2) Zgadza się. Taka funkcja o której piszesz, przyjmuje wartości naturalne czyli 0, 1, 2, 3 itd zależy od funkcji/równania. Jej wykres rysujesz najczęściej w oparciu o dany wykres/wzór f(m). Jeżeli f(m) jest funkcją liniową/kwadratową to zadanie jest proste; przy wartościach bezwzględnych też powinno nie być bardzo trudne, przy innych − różnie może być. Masz jakiś konkretny przykład?

nina78: no właśnie chodzi o tą funkcję z ostatniego przykładu (m−1)4^x−4*2^x+m+2=0

loitzl9006: Ok, podstawiamy t=2^x i zajmiemy się funkcją f(t)=(m−1)t²−4t+m+2 (kwadratowa, ale może mieć tylko dodatnie rozwiązania), także: − dla m∊(1;2) ma 2 rozwiązania (obliczyliśmy to) − dla m=1 jest funkcją liniową która ma dodatnie miejsce zerowe, a więc dla m=1 jest 1 rozwiązanie − jeżeli ma dwa rozwiązania różnych znaków (wzory Viete'a wykorzystaj znowu) to ma jedno rozwiązanie (to dodatnie), − jeżeli ma dwa rozwiązania ujemne (też wzory Viete'a) to ma 0 rozwiązań (bo nie mogą być ujemne) i to by było na tyle. Dla każdego przypadku wyznacz m∊..., i potem rysujesz wykres y=f(m) na zasadzie że jak np. wiadomo że dla m∊(1;2) ma 2 rozwiązania to dla argumentów od 1 do 2, funkcja f(m) jest stała i przyjmuje w tym przedziale wartość 2

nina78: super jestem bardzo , bardzo wdzięczna za pomoc ostatnią część muszę jeszcze dobrze rozpisać ale to już nie dziś bo

loitzl9006: co się dzieje kiedy Δ=0 i Δ<0 − to powinno być oczywiste. Dobranoc, do jutra.