ze wzoru Moivre'a wyrazić dana funkcję trygonometryczną, POMOCY elektron: cos4α

ICSP: (cosx + isinx)⁴ = (cos4 + isin4x) − ze wzoru De Movier'a (cosx + isinx)⁴ = cos⁴x + 4cos³isinx −6cos²xsin²x − 4cosx sin³xi + sin⁴x porównując części rzeczywiste i urojone mam : cos4x = cos⁴x −6cos²x sin²x + sin⁴x i dodatkowo : sin4x = 4cos³xsinx − 4cosx sin³x

elektron: czy to jest rozwiazanie? Bo ja w odpowiedziach mam cos4α= 8 cos4(potęga)α− 8 cos2(potęga) α+1

ICSP: przecież : cos⁴α − 6cos²αsin²α + sin⁴α = 8cos⁴α − 8cos²α + 1 wystarczy to tylko przekształcić. Uznałem że to jest już proste i sobie z tym poradzisz

elektron: polecenie do zadania, Korzystajac ze wzoru Moivre'a wyrazić za pomocą tylko sinα i cosα dane funkcje trygonometryvzne. cos4α

elektron: wiem, że to proste, dla ludzi obytych z matematyką, ale proszę wytłumacz mi szczegółowo ponieważ ja dopiero zaczynam nauke matematyk, a naie mam nikogo kto by mi w tym pomógł!

Sławek: z = a + jb r = |z| = √a² + b² Wzór De Moivre'a jest wzorem używanym do potęgowania liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej. z = a+jb = |z|*(cosφ + jsinφ) zⁿ = [r(cosφ+jsinφ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ+ jsin nφ) Ze wzoru Moivre'a otrzymasz (cosα + jsinα)⁴ =1⁴*(cos 4α+ jsin 4α) = (cos 4α+ jsin 4α) A jak skorzystasz z tego: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ wzoru skróconego mnożenia to (pamiętaj, że j²=−1) (cosα + jsinα)⁴ = cos⁴α + 4cos³α*jsinα −6cos²α*sin²α − 4cosα*jsin³α + sin⁴α Porównujesz ze sobą wyrażenia otrzymane z obu wzorów. (cos 4α+ jsin 4α) = cos⁴α + 4cos³α*jsinα −6cos²α*sin²α − 4cosα*jsin³α + sin⁴α Po prawej porządkujesz na część rzeczywistą i urojoną. Następnie porównujesz części rzeczywiste i urojone obu stron − bo dwie liczby zespolone są sobie równe, jeżeli ich części rzeczywiste i urojone są sobie równe.

elektron: proszę o cierpliwość i wyrozumiałość ale jak dojść do wyniku jaki mam w odpowiedziach 8cos4α − 8cos2α + 1

Sławek: cos4α+ jsin4α = cos⁴α + 4cos³α*jsinα −6cos²α*sin²α − 4cosα*jsin³α + sin⁴α cos4α+ jsin4α = cos⁴α + sin⁴α −6cos²α*sin²α + j(4cos³α*sinα − 4cosα*sin³α) Porównujesz części rzeczywiste i urojone lewej i prawej strony cos4α = cos⁴α + sin⁴α −6cos²α*sin²α sin4α = 4cos³α*sinα − 4cosα*sin³α Nas interesuje pierwsze z powyższych czyli: cos4α = cos⁴α − 6cos²α*sin²α + sin⁴α Korzystam z jedynki trygonometrycznej (może istnieje inny szybszy sposób) cos4α = cos⁴α + sin²α*(sin²α− 6cos²α) cos4α = cos⁴α + (1−cos²α)*(1−cos²α− 6cos²α) cos4α = cos⁴α + (1−cos²α)*(1− 7cos²α) cos4α = cos⁴α + (1−7cos²α−cos²α+7cos⁴α) cos4α = cos⁴α + 1−8cos²α+7cos⁴α cos4α = 8cos⁴α − 8cos²α + 1 Dodatkowo masz potwierdzenie tutaj: http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos^4%CE%B1+%E2%88%92+6*cos^2%CE%B1*sin^2%CE%B1+%2B+sin^4%CE%B1+

elektron: bardzo dziekuję za przejżyste notatki, ROZUMIEM teraaz