. asdf: Liczby zespolone: x⁴ + 6ix³ − 9x² + 4ix − 12 = 0 układem równań: x⁴ − 9x² − 12 = 0 CZĘŚĆ UROJONA: 6x³ + 4x = 0 ⇒ 2x(3x² + 2) = 0 3x² + 2 = 0 √Δ = √−24 ⇒ √Δ = i√24

	−i√6
x1 = U{−i√24{6} =
	3

	i√6
x2 =
	3

x⁴ −9x² − 12 = 0 x = t² zał: >=0 Δ = √129 x₁ = ... x₂ = ... Już coś tutaj mi śmierdzi, gdzie jest błąd?

aniabb: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+%2B+6ix%5E3+%E2%88%92+9x%5E2+%2B+4ix+%E2%88%92+12+%3D+0

aniabb: jak dopuszczasz rozwiązania urojone nie możesz dzielić na części

asdf: aniabb, ja mam odpowiedzi, tylko jak do nich dojść Kiedy można uwzględniać części urojone przy liczeniu delty, a kiedy nie? Tej zasady do końca też nie rozumiem

asdf: jak dojść do rozwiązania?

Mila: asdf, czy x∊Z, czy to już przekształcona postac równania i x∊R?

aniabb: hornerem.. podstaw x=i

aniabb: oo albo faktycznie za x wstaw (a+bi) i wtedy podziel na części

asdf: @Mila Treść zadania: Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie: x⁴ + 6ix³ − 9x² + 4ix − 12 = 0 @aniabb i wszystko pokolei z dwumianu newtona podnosić do potęgi i dodawać ?

ICSP: w zbiorze liczb rzeczywistych ale jednostki urojone to masz ?

asdf: Nie rozumiem pytania

ICSP: a ja po prostu jestem ślepy bo zespolone czytam jak rzeczywiste

asdf: Heh

asdf: Ma ktoś jakiś prostszy pomysł na rozwiązanie?

ZKS: x⁴ + 6ix³ − 9x² = x⁴ + 6ix³ + 9i²x² = x²(x + 3i)² x²(x + 3i)² + 4ix + 12i² = x²(x + 3i)² + 4i(x + 3i) = (x + 3i)(x² + 4i)

ICSP: ZKS z równania IV stopnia zrobiłeś równanie stopnia III

ZKS: Przepraszam za błąd. x²(x + 3i)² + 4i(x + 3i) = (x + 3i)(x³ + 3ix² + 4i)

ZKS: Wiem bo źle spojrzałem na nawias.

asdf: dzięki wielkie

ZKS: Tam ten nawias też łatwo rozłożyć.

ICSP: ja jak zwykle sprowadziłem sobie to do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych z których policzyłem już pierwiastki bez problemu

ZKS: Dwa trójmiany. (x² + 2ix + 3)(x² + 4i − 4)

ICSP: ja mam takie : (x² + 5ix − 6)(x² + ix + 2)

Mila: x⁴ + 6ix³ − 9x*2 + 4ix − 12 = 0 x⁴ + 6ix³ − 9x*2 + 4ix + 12i²=0 x²( x²+6ix−9)+4i(x+3i)= 0 x²(x+3i)²+4i(x+3i)=0 (x+3i)[x²(x+3i)+4i]=0 x+3i=0 lub x²(x+3i)+4i=0 Rozwiązuj dalej

asdf: Dzięki Mila, już sobie poradziłem z zadaniem

Mila: cd 00:17 x²(x+3i)+4i=0 x³+3x²i+4i=0 x³+2x²i +x²i+4i=0 x²(x+2i)+i(x²+4)=0 x²(x+2i)+i(x−2i)(x+2i)=0 (x+2i)(x²+ix+2)=0 x=−2i lub (x²+ix+2)=0 Δ=−1−8=−9

	−i−3i		−i+3i
x1=		=−2i lub		=i
	2		2

odp. x=i x=−2i podwójny x=−3i

Trivial: 1. Przy rozwiązywaniu takich równań warto sprawdzić, czy są pierwiastki rzeczywiste albo czysto zespolone. Załóżmy x rzeczywiste. x⁴ + 6ix³ − 9x² + 4ix − 12 = 0 → x ≠ 0

⎧	x4 − 9x2 − 12 = 0
⎩	6x3 + 4x = 0

Z drugiego mamy: 6x² = −4, zatem rzeczywistych pierwiastków nie ma. Załóżmy x czysto zespolone, tj. x = ib dla b∊R. (ib)⁴ + 6i(ib)³ − 9(ib)² + 4i(ib) − 12 = 0 b⁴ + 6b³ + 9b² − 4b − 12 = 0 I masz normalny wielomian rzeczywisty. Zgadujemy pierwiastki i dzielimy Hornerem. 1 6 9 −4 −12 1 1 7 16 12 1 7 16 12 0 −2 −2 −10 −12 1 5 6 0 −2 −2 −6 1 3 0 −3 −3 1 0 Uzyskaliśmy 4 pierwiastki (licząc z krotnościami), zatem więcej już nie ma. x ∊ {i, −2i, −3i}