Równania i nierówności trygonometryczne Mrs: Uprzejmie proszę o pokazanie w jaki sposób rozwiązać te równania i nierówność. 1) log _tgx (tgx + 6) > 2 2) cos(5x) − cosx = sin(3x)

	5
3) sin4x + cos4x =
	8

Tutaj moje próby rozwiązania tych zadań. Nie mam bladego pojęcia jak rozwiązywać takie równania. W pierwszym sprowadziłem do takiej postaci: log _tgx (tgx + 6) > log _tgx (tgx)² Potem tgx + 6 > tg²x i dalej co? O ile to jest w ogóle dobrze zaczęte W drugim wyszło mi:

	5x − x		5x + x
−2sin		* sin		= sin(3x)
	2		2

−2sin(2x) * sin(3x) = sin (3x) // : sin(3x) −2sin(2x) = 1

	1
sin(2x) = −
	2

I co dalej? W trzecim zrobiłem tak:

	5
(sin2x − cos2x) (sin2x + cos2x) =
	8

	5
(sinx − cosx) (sinx + cosx) =
	8

I w tym miejscu utknąłem.

ewa: zacznij od założeń: tgx>0, tgx+6>0 , tgx≠1 Dobrze zapisałeś i teraz mamy 2 przypadki zależnie od podstawy logarytmu: 1⁰ tgx>1 funkcja log jest rosnąca i mamy tgx+6>(tgx)² 2⁰ 0<tgx<1 tgx+6<(tgx)²

ewa: Teraz trzeba te nierówności rozwiązać podstaw sobie t=tgx

ewa: Ad2 nie możesz dzielić sobie bezkarnie przez sin3x ( bo co jeśli sin3x=0?)

Nienor: 1) Po pierwsze tgx może mieć rożne wartości, też take należące do przedziału (0;1), a przy takiej wartości podstawy logarytmu zmieniamy znak na przeciwny opuszczając log. Czyli musisz to zad. rozwiązać 2 razy, jak tgx jest większe od 1 i jak jest mniejsze. Do tego musisz dołożyć założenia, że podstaw logarytu jest większa od 0 i tgx też jako taki musi istnieć (tgx−3)(tgx+2)>0 ⇔ tgx>3 i tgx>−2 lub tgx<3 i tg<−2 i z tym spróbuj kombinować, na to trzeba nałożyć założenia dotyczące dziedziny tg i logarytmów, i założyć, że tgx>1 2) załóż sobie, że 2x=t i spróbuj to rozwiązać, a później wrócić do podstwienia, choć dużo osób od razu to robi jako:

	−π		7
2x=		+2kπ lub 2x=		π+2kπ dla k∊C (całkowitych)
	6		6

3)sin²x−cos²x=−(cos²x−sin²x)=−cos(2x)

ewa: −2sin2x*sin3x−sin3x=0 −sin3x*(2sin2x+1)=0 sin3x=0 lub 2sin2x=−1 sin2x=−1/2

	π		7
3x=kπ lub 2x=−		+2kπ lub 2x=		π+2kπ
	6		6

	π		7
x={kπ}{3} lub x= x=−		+kπ lub 2x=		π+kπ , k∊C
	12		12

ewa: ad 3tak można byłoby zapisać gdybyś miał różnicę kwadratów a nie sumę! sin⁴x − cos⁴x=(sin²x+cos²x)(sin²x−cos^x) a tu masz sin⁴x + cos⁴x

ewa:

	1		1
sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=1−		*(2sinxcosx)2=1−		sin22x
	2		2

ewa:

	1		5
Ad4 1−		sin22x=
	2		8

	3
sin22x=
	4

	√3		√3
sin2x=−		lub sin2x=
	2		2