równanie trygonometryczne w liczbach zespolonych Nienor: Może ktoś na to zerknąć, bo dziwne rzeczy mi wyszły: sinz=2

	eiz−e−iz
sinz=
	2i

eiz−e−iz
	=2
2i

e^iz−e^−iz=4i (e^iz)²−1=4ie^iz Z: e^iz=t (mają tu być jakieś założenia?) t²−1=4it t²−4it−1=0 Δ=−16+4=−12 δ=2√3i

	4i−2√3i
t1=		=(2−√3)i
	2

	4i+2√3i
t2=		=(2+√3)i
	2

e^iz=(2−√3)i

	ln(2−√3)i
z=
	lni

e^iz=(2+√3)i

	ln(2+√3)i
z=
	lni

i no nie podoba mi się ten wynik, ale nie wiem jak to zrobić inaczej. Hmm.

Mila: e^iz=(2+√3)i izlne=ln[(2+√3)i]

	ln[(2+√3)i]
z1=		=−iln[(2+√3)i]
	i

	ln[(2−√3)i]
z2=		=−iln[(2−√3)i]
	i

Trivial: Dobrze zrobione. Trzeba tylko pociągnąć trochę dalej. e^iz = (2±√3)i = (2±√3)e^i(π/2+2kπ)

	1		π
z =		ln(2±√3)ei(π/2+2kπ) =		+2kπ − iln(2±√3).
	i		2

Sprawdzamy...

	π		π
sin(z) = sin(		+2kπ − iln(2±√3)) = sin(		− iln(2±√3)) = cos(iln(2±√3))
	2		2

	1		1		1
=		(e−ln(2±√3)+eln(2±√3)) =		(		+ 2±√3)
	2		2		2±√3

	1		2−(±√3)		2
=		(		+ 2±√3) =		= 2.
	2		4−3		4

OK.

Nienor: dzięki