Granice Basiek: Hej. Drobny problem, bardzo ładnie proszę o pomoc. Granica:

	cos(n2)
lim		=....
	2n3

n−>∞ I cóż, kompletnie nie wiem, jak to zacząć przez tego cosinusa.... Rozumiem, że argument cosinusa dąży do nieskończoności..., ale że jest to f. okresowa, to kompletnie nie wiem, do czego przez to dąży wartość cos. Jakaś podpowiedź?

Saizou : Witaj Basiek widzę że kamienica ma już internet

Święty: Skorzystaj z twierdzenia o trzech ciagach

wmboczek: −1≤cosx≤1 i tw o 3 ciągach

Basiek: Witaj, Saizou− wzięłam się w poniedziałek wprowadziłam z powrotem do domu. Tu jest internet. Więc nawet matematykę zaczęłam robić. Co do zastosowania tu twierdzenia... zaraz pomyślę. Dzięki.

news: Jeśli licznik zamknięty jest w przedziale <p, q>, a mianownik → ∞, to granicą jest zero

Saizou : to powodzenia przy liczeniu matematyki na zachętę

Basiek: news− teraz tak jest, ale na kolosie pewnie nie będzie... Saizou− dzięki. Uwierz, przyda się.

Basiek: Nie, jednak nie wiem. Załapałam, że cosx jest ograniczony przez dwa ciągi stałe a_n=−1 , c_n=1 jednak g_an≠ g_cn⇒ g_bn=

Basiek: Proszę, proszę, ładnie proszę.

Ajtek: A takie coś nie wystarczy:

−1		cos2n		1
	≤		≤
2n3		2n3		2n3

	cos2n		cos2n
0≤		≤0 ⇒ limx→∞		=0
	2n3		2n3

Mila: Jeśli Ajtek nie wystarczy, to inaczej podpowiem.

Ajtek: Witaj Mila. Twierdzenia o trzech ciągach szczerze nie pamiętam. Idąc sugestią Świętego takie "cudeńko" wykombinowałem .

Basiek: Wystarczy, wystarczy. DZIĘKUJĘ. Mogę mieć pytanie odnośnie innego przykładu [po części dot. definicji]? I w ogóle− Witajcie.

Ajtek: A tak w ogóle to cześć Basiek Oczywiście witam też Święty .

Ajtek:

	cosn2
Oczywiście miało być
	2n3

Mila: Witam wszystkich ciepło.

Ajtek: Mila, ten Twój sposób chętnię zobaczę. Jak będziesz miałą wolną chwilkę oczywiście .

Basiek: Jasne, Ajtek. Zauważyłam, ale to nic nie zmienia..., a ogólnie całość b. ładnie zapisana. Dzięki. Co do tego przykładu, którego... nie wiem.

	1		5		3
lim n−>∞ n√4n3+n2+5n+3 = lim n√4 * (n√n)3 * n√1+		+		+
	4n		4n2		4n3

→1 Chodzi mi o to, że dopiero pod koniec korzystam z ⁿ√a_n=1, bo jest warunek jakoby a_n≥0 , a szczerze mówiąc... nie wiem, jak to stwierdzić, w przypadku, gdy nie jest to f. kwadratowa. No i na podstawie Krysickiego to rozwiązałam. Chodzi o

Basiek: Coś się delikatnie mówiąc pogmatwało, oczywiście zdanie: "No i na podstawie Krysickiego to rozwiązałam. Chodzi o" było przed przykładem...

Ajtek: I ja mam w tym pomóc Żart wieczoru

Basiek: Ajtek− nie bądź taki skromny. Hm, rozkminiam te dziwne definicję i staram się sama siebie czepiać robiąc to, bo toż przecież ta matematyka jest nieogarnięta.

Ajtek: Zauważ że masz szereg, czyli n≥0 z założenia, chyba. Niech ktoś to zaneguje/potwierdzi .

Basiek: Oj, szeregi to jutro. A właściwie dziś w nocy, inaczej jutro zginę.

Mila: Basiek suma liczb dodatnich jest dodatnia. Ajtek mnie uczono tak:mam ciąg c_n= a_n*b_n i jeśli a_n ograniczony i b_n→0 to c_n→0

	1
czyli cn=cos(n2)*		→0
	2n3

Ajtek: Nie jestem skromny. Raz w roku to i kura wiadomo co zrobi. Ja mam mniej więcej tak samo, jak mi ktoś cośpodpowie, to i wymodzę coś mądrego. Czasami, z naciskiem na czasami .

Basiek: Mila− dzięki! W międzyczasie zagubiłam się i zapomniałam, o co tu tak właściwie chodzi. Ciągi. n∊N. Lepiej.

Ajtek: Widzisz Mila, mam pod ręką zeszyt z mamty ze studiów. Niestety nie mam w nim wszystkich wykładów i ćwiczeń . Stąd moje trudności w przypominaniu wiedzy. Poradnik matematyczny "zajumał" brat, bo był mu potrzebny. Mam nadzieję, że przywiezie w najbliższym czasie . A to twierdzonko właśnie mi przypomniałaś na pięknym przykładzie .

Basiek: Chciałabym, żeby moje notatki wnosiły coś do sprawy...

Ajtek: Jak widzisz, moje również wnoszą niewiele .

Basiek: To chyba taka ogólniejsza charakterystyka notatek. Swoją drogą− Krysicki, Włodarski− b. fajnie zrobione. Wiadomo, że nie da rady tam ująć wszystkiego, ale... sporo jest i to dobrze zrobionych. Miło się uczy, więc pewnie także przypomina. I można znaleźć w sieci.

Ajtek: Skoro Tobie się miło uczy z tej pozycji, to my Tobie potrzebni do niczego nie jesteśmy .

Mila: Ajtek, to orlątko opuści nas niedługo i tak ma być, to naturalna kolej rzeczy.:

Ajtek: Wiesz co Są orlątka, które zostają. Jak to mówią ciągnie wilka do lasu . I teraz zadanie dla Basiek, znajdź związek logiczny między orlątkiem a wilkiem .

Basiek: O... Wiecie, nie no, sądzę, że chyba jeszcze tu pobędę. Wiem, że chcielibyście się mnie pozbyć, ale... życie bywa okrutne. Co do Krysickiego, Włodarskiego− wiesz, niby miło, miło; ale relacji to już porządnie opisać nie umieli. Itd, itd. A biorąc pod uwagę moją obecną sytuację na wykładach/ ćw. z matematyki, to raczej będę starała się korzystać z wszelkich możliwych źródeł. ["okradłam" nawet bibliotekę].

Ajtek: Hmmmm, być możesz. Ja również ostatnio więcej bywam, niż pomagam .

Basiek: Momentami chciałabym pomóc, ale chwilowo czas mnie nie puszcza...; a jak zacznę, to potem nagle... i puf! czasu nie ma w ogóle. I zamiast 3h snu codziennie, zostaje ci 0... Więc− ograniczam. w żadną stronę. Mam takie rewolucje ostatnio, że masakra. FIlm mogłabym nagrać, książkę napisać... ; muszę to na poważnie przemyśleć.

Ajtek: Spokojnie, znajdziesz czas na pomaganie, na napisanie ksiązki/scenariusza na film, a później to nakręcisz .

Basiek: A na sen? Proszę, powiedz, że na sen też!

Ajtek: Czekaj, czekaj... Jak nie będziesz spała jak suseł, to też czas znajdziesz .

Basiek: Obecnie wstaję przed 5−tą. Więc proszę mnie tu nie obrażać. Rannym ptaszkiem zostałam wręcz.

Ajtek: Rannym w sensie postrzelonym Kto śmiał to zrobić

Basiek: Jak widzę na budziku 4:55, to stwierdzam, że postrzelenie i inne rany fizyczne, to pikuś.

Ajtek: Aha. Czyli Basiek wróciłaś do realnego świata. Nie snujesz się po kuchni około godzin południowych w poszukiwaniu kawy itp .

Basiek: Jeśli to jest realny świat... to ja podziękuję. Nie, teraz śpię 3h, jadę, śpię w środku transportu, wysiadam− przysypiam na zajęciach, jadę z powrotem− śpiąc, wracam do domu, śpię po południu... i tak w koło. Straszne. Człowiek staje się całkowicie bezproduktywny.

Ajtek: Co Ciebie nie zabije, to Cię wzmocni, pamiętaj o tym .

Basiek: [...I zrobi ze mnie zgorzkniałą, wredną jędzę.] Będę pamiętać.

Basiek: Jeszcze raz dziękuję za pomoc. Przerywamy ciągi, zaczynamy szeregi. Dobranoc

Ajtek: Nie zgorzkniałą, wredną jędzę, tylko jeszcze bardziej wesołą Basiek . Spokojnej.