Parametr i liczby zespolone Święty: Cześć. Skromne zadanko z parametrem w liczbach zespolonych.

	√3		1
Dla jakich k∊N zachodzi równość (		−		i)k=i. Znajdz najmniejsze takie k, a
	2		2

nastepnie podaj wzór ogolny na wszelkie możliwe takie k. No to do dzieła. Zamieniam lewą stronę na postać trygonometryczną na chwile zapominając o k

√3		1		π		π
	−		i=cos		+isin(−		)
2		2		6		6

To samo z prawą stroną

	π		π
i=cos		+isin
	2		2

Wracamy do k: Ze wzoru Moivre'a

	π		π		π*k		π*k
[cos		+isin(−		)]k=cos		+isin(−		)
	6		6		6		6

Przyrównujemy

	π*k		π*k		π		π
cos		+isin(−		)=cos		+isin
	6		6		2		2

Stąd:

π*k		π		π*k		π
	=		lub (−		)=
6		2		6		2

k=3 lub k=−3 k∊N ⇒ k=3 Dobrze myślę? Jaki zatem bedzie wzor na wszystkie mozliwe k?

Święty: Podbijam

Święty:

Święty: Nikt nie wie jak to zrobić?

MQ: Nie cos(kπ/6)=cos(π/2)=0 i (a nie lub) sin(−kπ/6)=sin(π/2)=1 Z pierwszego kπ/6=π+nπ, gdzie n∊Z Z drugiego −kπ/6=π/2+2mπ, gdzie m∊Z

MQ: Oba warunki muszą zachodzić.

MQ: Poprawka Pierwszy warunek: kπ/6=π/2+nπ, gdzie n∊Z

Święty: Po co to 'n'?

MQ: Bo rozwiązaniem pierwszej zależności jest nie tylko kπ/6 = π/2 ale też kπ/6 = π/2+π oraz kπ/6 = π/2−π, oraz kπ/6 = π/2+2π, oraz kπ/6 = π/2−2π itd.