Ograniczoność ciągów Karusiaaa: Ograniczoność ciągów, granice. Sprawdź, czy ciąg jest ograniczony. a_n=1 + ¹₂ + ¹₃ + ¹₄ +.... ¹_n Wyznacz granicę a_n= ⁿ√n Proszę o wytłumaczenie krok po kroku co i jak się robi i dlaczego.

Artur_z_miasta_Neptuna: a_n −−−− zauważasz że jest to ciąg jest rosnący w takim razie z dołu jest ograniczony przez element a₁ z góry będzie ograniczony przez lim a_n

Artur_z_miasta_Neptuna: lim ⁿ√n = lim n^1/n = lim e^{ln (n1/n} = lim e^{1/n * ln n} e ^{lim 1/n * ln n} = dokończ

Godzio: Na tym etapie ten dowód średnio pasuje, przydałby się dowód ciągłości funkcji e^x.

Artur_z_miasta_Neptuna: Godzio ... to jak inaczej chcesz pokazać ile wynosi lim ⁿ√n bez podania "wynosi tyle i tak po prostu jest"

Godzio: Ponieważ ⁿ√n > 1 to możemy zapisać, że ⁿ√n = 1 + x_n zatem:

	n 1		n 2		n 2
n = (1 + xn)n ≥ 1 +		xn +		xn2 ≥		xn2

	n(n − 1)
n ≥		xn2
	2

	2
0 ←		≥ xn2 > 0 ⇒ xn → 0 ⇒ n√n → 1
	n − 1

Godzio: Oczywiście ⁿ√n > 1 dla n > 1

Karusiaaa: póki co jeszcze do mnie nie dotarło rozwiązanie...

Godzio: A czego w nim nie rozumiesz ?

Karusiaaa: skąd ten symbol n po 1, n po 2?

Godzio:

	n 0		n 1		n 2		n n
(a + b)n =		an +		an−1b +		an−2b2 + ... +		bn

My wykorzystujemy fakt, że:

	n 0		n 1		n 2
(a + b)n ≥		an +		an−1b +		an−2b2

(bierzemy pierwsze 3 wyrazy rozwinięcia)

Karusiaaa: Aha, w ten sposób. Jaśniej już ; ]

Karusiaaa: A dostanę wskazówkę do pierwszego ciągu? I postaram się skończyć sama ; ]

Godzio: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_harmoniczny (popatrz na "Rozbieżność szeregu harmonicznego") Jak nie będziesz rozumieć co się tam dzieje to pisz