granice mariusz: Granice Oblicz granice następujących ciągów:

	sin n
a) an =
	n

b) a_n = ⁿ√r; 0 < r < 1

	1
c) an = 2n −
	n

d) a_n = n(√n² + 7 − n) e) a_n = ⁿ√n²

	n2 + n + 1
f) an =
	(n + sin n)2

Artur_z_miasta_Neptuna: a) skorzystaj z tw. o trzech ciągach b) ⁿ√r = r^1/n = e^{ln (r1/n)} = e^{1/n * ln (r)} <−−− skorzystaj z tego c) tw. o trzech ciągach (a tak naprawdę o dwóch w tym przypadku)

	a−b
d) √a − √b =		<−−− skorzystaj z tego
	√a + √b

e) patrz (b) f) tw. o trzech ciągach powodzenia

mariusz: twierdzenie o 3 ciągach nie miałem, mógłbyś powiedzieć coś o nim? zrobić najlepiej jeden przypadek a resztę zrobię analogicznie.

Krzysiek: b)Artur po co tak kombinować, skorzystać z tw., że ⁿ√a →1 podobnie e)

Artur_z_miasta_Neptuna: Krzysiek −−− masz rację ... jednak wolę nie podawać 'wzorków dla idiotków' bo później się komuś pomyli i napisze, że ⁿ√a −> 0 ... albo że −>1 przy (n−>0) ... różne kwiatki mogą być. mariusz ... a co miałeś mialeś tw. że jeżeli ciąg a_n ≥ b_n oraz lim b_n = +∞ to lim a_n = +∞

Artur_z_miasta_Neptuna: miałeś tw. że jeżeli a_n = b_n*c_n, gdzie b_n ograniczony i c_n −> 0 .... to a_n −> 0

mariusz: nie, póki co warunek cauchy'ego ale jakbyś mógł wytłumaczyć, byłbym wdzięczny

mariusz: pomocy

Artur_z_miasta_Neptuna: no to 'jedziesz' z definicji Cauchy'ego w czym problem

mariusz: tylko tak nie zbyt rozumiem jeszcze granice; muszę przerobić kilka przykładów; mógłbyś mi w tych pomóc?

Artur_z_miasta_Neptuna: a tak poważniej ... to nie mam bladego pojęcia jak rozwiązać przykład (a) i (f) bez szacowania ... czyli wykorzystania tw. o 3 ciągach

mariusz: to chyba wolę nauczyć się tw. o 3 ciągach

mariusz:

Artur_z_miasta_Neptuna: tw. o 3 ciągach mówi, że: jeżeli a_n ≥ b_n ≥c_n oraz lim a_n = lim c_n = g ... to lim b_n = g jak to wyglada w praktyce?

	sin n
bn =
	n

	1
an =
	n

	−1
cn =
	n

a_n ≥ b_n ≥ c_n ... ponieważ 1≥sin n ≥ −1

	1
lim		= 0
	n

	−1
lim		= 0
	n

	sin n
na mocy tw. o 3 ciągach −− lim		= 0
	n

paweł: ok, sin n dlatego, że zbiór wartości ma <−1,1> ?

paweł:

	1
a jak to zastosować do 2n −		? bo tego nie widzę
	n

mariusz:

	n2 + n + 1
f)
	(n + sin n)2

n2 + n + 1		n2 + n + 1		n2 + n + 1
	≤		≤
(n − 1)2		(n + sin n)2		(n + 1)2

	1		2n * n − 1
c) 2n −		=
	n		n

Ciągnąć to dalej?

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1
2n −		≥ 2n − 1 ... an ≥ bn
	n

lim (2ⁿ − 1) = +∞ skoro a_n ≥ b_n −> +∞ ... to a_n −> + ∞ słownie .... jeżeli ciąg który ma dla każdego 'n' wyraz mniejszy od wyrazu badanego ciągu, ma granicę niewłaściwą w +∞ ... to ten 'większy' ciąg także musi mieć granicę niewłaściwą +∞ (na logikę )

Artur_z_miasta_Neptuna: natomiast w (f) źle oszacowałeś (w drugą stronę nierówności) pamiętaj, że:

1		1
	<
coś		'coś' −1

np.

1		1
	<
3		2

Artur_z_miasta_Neptuna: w (f) teraz wyliczasz mianownik ... i obliczasz granicę (najlepiej poprzez wyłączenie najwyższej potęgi mianownika w mianowniku i liczniku i skróceniu jej)

mariusz: czemu źle oszacowałem, mógłbyś to wytłumaczyć? a czy punkt c) da się zapisać tak jak ten przykład a) i f)? z rozbiciem na dwa warunki po lewej i po prawej stronie.

Artur_z_miasta_Neptuna: już wiesz dlaczego (f) źle nierówności co do (c) 'i tak i nie' ale nie musisz dawać górnego oszacowania ... bo dolne wystarczy ... jeżeli coś dąży do +∞, to coś co jest od tego zawsze większe także będzie dążyć do +∞. np. Ty każdej sekundy dostajesz 1PLN Ja także w każdej sekundzie dostaję 1PLN, ale na starcie miałem o 5PLN więcej niż Ty. Po ∞ liczbie sekund ile będę miał pieniędzy ? Może trochę idiotyczny przykład ... ale chcę Ci to jako 'zobrazować', więc proszę o wyrozumiałość.

mariusz: tyle co ja? f) już rozumiem

mariusz: