Ciągi. Mateusz: Zbadaj, czy ciąg określony wzorem rekurencyjnym a1= −3 a_n+1 = a_n + ¹_n sin² (2n−1) ^Pi₂ jest ciągiem monotonicznym.

Mati_gg9225535: masz a₁ do drugiego wzoru za n wstaw 1 jesli a_n+1 >a₁ to rosnący jesli a_n+1 <a₁ to malejący a jesli a_n+1 =a₁ to stały

Mateusz: to wiem, ale coś mi nie wychodzi obliczenie tego.

Krzysiek: zajmij się sinusem , zobacz jakie wartości on przyjmuje

Mateusz: czyli mozna to zrobic na zasadzie : a₂ = −3 + sin^{2 pi}₂ = −3 + 1² = −2 ?

Trivial:

	π		π		π
sin(2n−1)		= sin(nπ −		) = −sin(		−nπ) = −cos(nπ) = −(−1)n.
	2		2		2

	π
sin2((2n−1)		= 1.
	2

Zatem

	1
an+1 = an +		.
	n

Zadanie stało się trywialne.

Trivial: A tak naprawdę, to w zadaniu nie pytają nawet jaki jest to rodzaj monotoniczności. A zatem wystarczy nawet tyle:

	1		π
an+1 = an +		sin2(2n−1)
	n		2

	1		π
an+1 − an =		sin2(2n−1)		≥ 0
	n		2

Zatem ciąg monotoniczny, przynajmniej słabo rosnący, niezależnie od tego jaką liczbą jest a₁.