całka bartek: Witam czy mógłby mi ktoś powiedzieć jak oblicza się całkę z np. ∫tg² xdx

Kpt. Sanders: spróbuj przez części:

	sin2(x)		1
∫		dx = ∫sin2(x) *		dx = ...
	cos2(x)		cos2(x)

bartek: no właśnie przez części nie mogę jakoś tego zrozumić przez podstawianie wmiare wiem o co codzi ale przez części to dla mnie czarna magia ... Czy mógłbyś mi to jakoś wytłumaczyć?

bartek: *zrozumieć

bartek: hm to chyba coś takiego ale nie wiem co dalej wzór jest taki: ∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)−∫u'(x)v(x)dx a więc: u=sin²x u'=2cosx v'=1/(cos²x) v=tgx =sin²x *tgx − ∫2cosx * tgx i co dalej?

pigor: ... np. tak :

	sin2x		1−cos2x
∫tg2x dx= ∫		dx= ∫		dx=
	cos2x		cos2x

	1
= ∫		dx − ∫dx = tgx − x+C . ...
	cos2x

bartek: hm nie bardzo rozumiem skąd się wzieło 1−cos² i skąd −∫dx

pigor: ... , chyba żartujesz, to po co ci całki

bartek: i tak przy okazji mógłby mi ktos powiedzieć co się robi z np. 2 w sin2x lub sin²x, 2sinx w pochodnych i całkach?

bartek: jutro mam komisa z analizy matematycznej

pigor: .. , bo sin²x+cos²x=1 , stąd sin²x=1−cos²x , zaś ^{b − a}_a = ^b_a − ^a_a = ^b_a − 1 , gdzie b=1 i a=cos²x i ... tyle

bartek: aaaa dzięki faktycznie nie pomyślałem wiedziałem o jedynce trygonometryczej ale nie pomyślałem żeby przekształcić wzór

bartek: a więc to jedno rozumiem dzięki jesteś wielki ale odnośnie mojego kolejnego pytania ktoś pomoże tym o 2

bartek: przy pochodnych chyba było by to tak (sin2x)'=cos2x *2 (sin²x)'=2cosx tego nie jestem pewien (2sinx)'=2(sinx)'=2cosx

bartek: a całki też nie jestem pewien ∫2sinx=2∫sinx=2*(−cosx)+c ∫sin2x= przez podstawianie 2x=t 2dx=dt dx=1/2 dt =1/2∫sint dt=1/2*(−cos2x) +c

bartek: ∫sin²x tego wogóle nie wiem czy to jest 2∫sinx czy może ∫sinx*∫sinx

Mila: Pochodne: 1) (sin2x)'=cos2x* (2x)'=2cos2x 2) (sin²x)'=2sinx*(sinx)'=2sinxcosx 3)2sinx=2*(sinx)'=2cosx Całki

	1
1) ∫sin(2x)dx=−		cos2x+C wg wzoru
	2

	dt
możesz zrobić podstawienie: [2x=t ; 2dx=dt ; dx=		]
	2

i wtedy mamy:

	dt		1		1
∫sin(2x)dx=∫sint		=U{1}[2}∫sintdt=		*(−cost)=−		cos2x+C
	2		2		2

3) ∫2sinx dx=2∫sinxdx=−2cosx+C 2) ∫sin²dx =..... są różne sposoby. jeden z nich: cos2x=cos²x−sin²x oblicz z tego sin²x i korzystając z tego co Ci wytłumaczyłam, oblicz tę całkę.

Mila: cos2x=cos²x−sin²x cos2x=1−sin²x−sin²x cos2x=1−2sin²x teraz wyznacz sin²x

bartek: hm.. cos2x=1−2sin²x cos2x+2sin²x=1 2sin²x=1−cos2x /:2 sin²x=^1−cos2x₂

bartek: a więc całka będzie ∫^1−cos2x₂ i co dalej rozpisujemy ją? ¹₂ − ^cos2x₂ ?

bartek: i jeszcze jedno pytanie (pewnie głupie ) ale ską się wzięło cos2x= cos²x−sin²x ja znalazłem tylko taki wzór cos2x=2cos²x −1

Mila: Bartek; cos2x=cos²x−sin²x to podstawowy wzór na cosinus kąta podwojonego. Te dwa wzory z sinusem i cosinusem są wyprowadzone, korzystając z jedynki trygonometrycznej. Dalej masz całkę:

1		1
	∫dx−		∫cos2xdx= oblicz.
2		2

Bartek: Przepraszam że dopiero teraz ale nie miałem dostępu do internetu Czy to będzie : 1/2 − 1/4 sin2x+c?

Mila:

1		1
	x−		sin2x+C
2		4

Bartek: Ok dzięki wielkie za pomoc może uda mi się jakoś tego komisa zaliczyć

Mila: Powodzenia Trzymaj się.