indukcja Monika: ∀n≥5 2ⁿ≥n² założenie 2ⁿ≥n² teza 2ⁿ⁺¹≥(n+1)² 2ⁿ⁺¹=2ⁿ*2 zał.induk 2n²≥(n+1)² n²−2n−1≥0 (∞,n−1−√2)(n−1+√2,∞) czyli odp. jest n∊(n−1−√2,∞) ale n≥5 czy to jest sprzeczne?

fff: hm: 2ⁿ⁺¹ ≥ (n+1)² 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ 2 ≥ 2 n² (z zał. ind) pozostaje: 2 n² ≥ (n+1)² n²−2n−1≥0 n ∊ ( −∞, 1−√2 ) ∪ ( 1 + √2, ∞ ) n ∊ ℕ zatem: n ≥ 3 (nierówność n²−2n−1≥0 jest spełniona dla n≥3) czyli jest też spełniona dla n ≥ 5 (czyli krok indukcyjny dla n≥5 zachodzi) a to oznacza, że 2ⁿ⁺¹ ≥ (n+1)² jest prawdziwe dla n≥5 czyli jeżeli dla n=5 własność zachodzi i krok indukcyjny dla n≥5 zachodzi − to własność zachodzi dla dowolnego n≥5 (na podst. zasady indukcji)

Monika: ale np. jak postawimy przykładow n=3 to z 2ⁿ≥n² 8≥9 czyli dalej n≥3?

Artur_z_miasta_Neptuna: Moniko ... nierówność spełniona nie oznacza, że dla n=3 NIERÓWNOŚĆ INDUKCYJNA także jest spełniona

Artur_z_miasta_Neptuna: zauważ, że: n²−2n−1 ≥0 ... jest przy założeniu, że 2ⁿ ≥ n² czyli: 2ⁿ ≥ n² ⇒ n²−2n−1 ≥0 .... 0 ⇒ 1 (dla n=3)