Krótkie równanie Leon: Rozwiązać w zbiorze liczb wymiernych nieujemnych: x^y = y^x

Ajtek: Wg mnie x^y=y^x ⇔ x=y, ale pewności nie mam.

Leon: Dobre spostrzeżenie, ale nie wystarczające, bo dla przykładu x = 4 y = 2 oraz

	27
x =
	8

	9
y =
	4

też są rozwiązaniami. Brakuje mi formuły do obliczania tych wyników.

Artur_z_miasta_Neptuna: 1^o x=1 1^y = y¹ ⇔ 1 = y ⇔ x=y 2^o x≠1

	y
xy = yx ⇔ logx xy = logx yx ⇔ ylogxx = x logyx ⇔		= logy x ⇔ yy/x = x ⇔
	x

⇔ {y^y}^1/x = x ⇔ y^y = x^x ⇔ y=x

Artur_z_miasta_Neptuna: cholera ... zwaliłem −−− zamieniłem sobie logarytm

AC: Wyliczyłem, masz taki wzór

	n+1
x = (		)n+1
	n

	n+1
y= (		)n , gdzie n∊N+
	n

pigor: ... lub np. tak : niech y=px , to x^px=(px)^x ⇒ (x^p)^x=(px)^x ⇒ x^p=px /*x⁻¹ ⇒ x^p−1=p ⇒ ⇒ x=p ^1_p−1 i y=px= p* p ^1_p−1= p ^1_p−1+1 ⇒ ⇒ y=(p ^1_p−1)^p , no to jeśli ¹_p−1=n ∊N₊ ⇒ 1=pn−n ⇒ pn=n+1 ⇒ ⇒ p=ⁿ⁺¹_n, zatem x=(ⁿ⁺¹_n)ⁿ i y=(ⁿ⁺¹_n)ⁿ⁺¹ i n∊N₊...