kresy Aneta: wyznacz kresy dolne i górne!

	1
a={1+		: n∊ℕ}
	n2

wiem że supA=2 a infA=1 jedynie potrafie wykazać supA=1 tzn: n≥1 |² n²≥1/n²

	1
1≥
	n2

	1
1+		≤1+1≤2
	n2

	1
ponieważ 1+		należy do zbioru A to znaczy że supA=maxA=2
	12

a infA=1 1. ∀x∊ℛ takie że (m≤1)1≤x 2.∀m'>m, ∃x∊R, m'>x wykaż 1 i 2 jak to wykazać

Artur_z_miasta_Neptuna: najprościej za pomocą granicy

	1
lim (1+		) = 1
	n2

nie wprost niech infA >1 wtedy lim A >1 ... sprzeczne

Aneta: no właśnie ja nie miałam jeszcze granicy.

Artur_z_miasta_Neptuna: oczywiście to napisałem w mocnym skrócie ... trzeba to odpowiednio 'oprawić' w jakieś twierdzenia/kwantyfikatory

Artur_z_miasta_Neptuna: jak można robić kresy bez granic ... ciekawe

Aneta: no mnie tak uczą.

Artur_z_miasta_Neptuna: to może inaczej. inf A = m ⇒ ∀_n a_n ≥ m załóżmy, że m>1 chcemy dojść do sytuacji, że:

	1		1
∀m ∃k ak = 1+		≥ m ⋀ 1+		< m
	k2		(k+1)2

dowód nie wprost. wybieramy m>1 niech k = floor (√1/(m−1))

	1		1
ak = 1+		> 1+		= 1 + m − 1 = m
	k2		1   m−1

	1		1
ak+1 = 1+		< 1 +		= 1 + m −1 = m
	(k+1)2		1   m−1

skąd nierowność druga? otóż:

1		1
	=		≤
(k+1)2		(floor (√1/(m−1)))2 + 2(floor (√1/(m−1))) + 1

	1		1		1
≤		<		=
	(floor (√1/(m−1)))2 + 1		(1/(m−1) −1) + 1		1   m−1

zauważ, że : floor (x) + 1 > x

Aneta: mam tak w zeszycie: że Ad.1

	1		1
L=1+		>1+0=1=P bo		>0
	n2		n2

L≥P

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1
ale to że		>0 o niczym nie przesądza
	n2

tutaj jest po prostu ukryta granica w tym rozwiązaniu