Granice funkcji bartek: Witam Proszę o pomoc oraz ewentualne sprawdzenie poniższych granic funkcji:

	arcctg4x
1) lim przy x−>0		nie potrafię przekształcic tego arc ctg
	3x

	sin2x
2) lim przy x−>0		nie wiem co zrobic z sin2, próbowałem rozpisac jako sinsin, ale
	x

nie za wiele to dało

	ln(1+√x)
3) lim przy x−>0
	3√x

4) lim przy x−>0 sin3xctg5x kolejny raz nie wiem co zrobic z ctg

	tgx−sinx
5) lim przy x−>0		nieszczęsny sin3
	sin3x

	sin2x−sin4x		2x(sin−sin2)
6) lim przy x−>0		=		=2 można w ten sposób?
	sinx−sin2x		x(sin−sin2

	arctg(3x−9)
7) lim przy x−>3
	x2−9

Proszę o w miarę rozpisanie przykładów. Pozdrawiam

bartekS:

bartekS: Ma ktoś jakiś pomysł?

Beti: Mam pomysła na kilka przykładów, ale bez gwarancji, że to jest dobrze

	sin2x		sinx*sinx		sinx
2) lim		= lim		= limsinx*lim		= 0*1 = 0
	x		x		x

	cos5x		sin3x		cos5x
4) limsin3xctg5x = limsin3x*		= lim		*		=
	sin5x		5   *3x 3		sin5x   5x

	1		3
		*1 =
	5   3		5

pigor: ... np. tak :

	arctg4x		4x		arctg4x		4		4
1) limx→0		= limx→0		*		=		* 1=		;
	3x		3x		4x		3		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	sin2x		sinx
2) limx→0		= limx→0 x* (		)2 = 0*12= 0 ;
	x		x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	ln(1+√x)		√x		ln(1+√x)
3) limx→0		= limx→0		*		=
	3√x		3√x		√x

	ln(1+√x)
= limx→0 6√x *		= 0*1= 0 ;
	√x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	sin3x*cos5x
4) limx→0 sin3xctg5x= lim{x→0}		=
	sin5x

	3x		sin3x		5x		3		3
= limx→0		*		*		* cos5x=		*1*1*1=		;
	5x		3x		sin5x		5		5

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	tgx−sinx		sinx−cosx*sinx
5) limx→0		= limx→0		=
	sin3x		cosx*sinxsin2x

	sinx(1−cosx)		1−cosx
= limx→0		=limx→0		=
	cosx*sinx(1−cos2x)		cosx(1−cosx)(1+cosx)

	1		1		1
= limx→0		=		=		;
	cosx(1+cosx)		1(1+1)		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	sin2x−sin4x		sin2x−2sin2xcos2x
6) limx→0		= limx→0		=
	sinx−sin2x		sinx−2sinxcosx

	sin2x(1−2cos2x)		2sinxcosx(1−2cos2x)
=limx→0		=limx→0		=
	sinx(1−2cos)		sinx(1−2cosx)

	2cosx(1−2cos2x)		2*1(1−2*1)
= limx→0		=		= 2*1= 2 ;
	(1−2cosx)		(1−2*1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	arctg(3x−9)		arctg3(x−3)
7) limx→3		= limx→3 3*		=
	x2−9		3(x−3)(x+3)

	3		arctg3(x−3)		3		3		1
= limx→3		*		=		* 1=		=		... i tyle . ...
	x+3		3(x−3)		3+3		6		2

bartekS: Coś niesamowitego dzięki . Powiedz jak możesz skąd w 3 jest ⁶√x.

Aga1.:

√x		6√x3		x3
	=		=6√		=6√x, gdy x>0
3√x		6√x2		x2

bartekS: Czyli to jest po to, aby znaleźc jakby wspólny pierwiastek? Są na to jakieś wzory? W 1 chodziło mi o arc ctg.

bartekS: Wiem, że to już natręctwo z mojej strony, ale mam jeszcze kilka pytań:

	5x		sin5x
W 4 czy		to jest to samo co		, mam na myśli wzór granicy funkcji dla sin
	sin5x		5x

właśnie, bo jeśli nie to dlaczego to też jest równe 1? Skąd w 6 ten cos? Mnożymy w ten sposób 2sinx=sin2x czy po prostu 2sinx

pigor: ... otóż, w 4) no tak, to samo, choć ... nie takie samo, bo

	5x		1		1
limx→0		= limx→0		=		= 1 ;
	sin5x		sin5x   5x		1

w 6) bo jest wzór (np. w tablicach który "musisz" znać) , że można zamienić sin2x= 2sinx*cosx, a podobnie przydaje się np. wzór cos2α=cos²α−sin²α. ...

Mila: pigor W pierwszym jest arcctg(4x) czy arctg(4x) ? bo wyszło mi ∞.

pigor: ... no tak, ja liczyłem jako arctg4x (arkus tangens) a tam faktycznie jest cotangens, przepraszam .

johny11: Ok, teraz już rozumiem co jednak z arc ctg, zapisac to jako cos przez sin?

pigor: ... może tam miało być arctg4x ale jak nie, to ja bym robił wtedy np. tak :

	arcctg4x		cost
limx→0		= | arcctg4x=t ⇒ ctgt=4x ⇒ x=14ctgt=		i x→0 ⇒
	3x		4sint

	π		π		t
⇒ ctgt→0 ⇒ t→		| = lim t→				=
	2		2		3cost   4sint

	π		4sint		4*1		4
= lim t→				=		= [		]= ∞ . ...
	2		3cost		3*0		0

bartekS: Czyli jak się wprowadza zmienną pomocniczą to można pominąc arc?

pigor: ... , ja nic nie pomijam, tylko zgodnie z definicją arcusa funkcji f (czyli z funkcji odwrotnej do f) przechodzę (wracam) na funkcję f i tyle . ...

bartekS: Masz rację dzięki

bartekS: Jak policzyc coś takiego:

	√x+9−3
lim przy x−>0+		?
	x

aniab: pomnożyć górę i dół przez √x+9+3

bartekS: Zapytam się jeszcze, jak to jest z opuszczaniem wartości bezwzględnej: 1)|x+4| kiedy, x−>−4⁻ oraz kiedy x−>−4⁺ 2)|x−4| kiedy, x−>−4⁻ oraz kiedy x−>−4⁺

bartekS: Ma ktoś jakieś propozyzje?

bartekS: Może jednak ktoś podpowie, przyda mi się to na przyszłość, czyli kolokwium

Mila: |x+4|=x+4 dla x→−4⁺ |x+4|=−x−4 dla x→−4⁻

bartekS: W takim razie:

	x		x
1) lim przy x−>−4−		=		=−∞
	|x+4|		−x−4

	x		x
2) lim przy x−>−4+		=		=+∞
	|x+4|		x+4

Mila: druga granica też ( −∞)

	−3,999
[ja robię podstawienie		→−∞]
	−3,999+4

bartekS:

	A
Z podstawowego wzoru [		]=+ lub −∞, gdzie A to stała
	0

	−4
Czyli jak		to powinno chyba byc +∞
	0+

Mila: Ujemna : dodatnia=ujemna (−4):0,000000000000000001=−4*10¹⁸<0

Mila:

	x
Wykres f(x)=
	|x+4|

bartekS: Czyli ''stała'' też ma wpływ na wynik, w zależności oczywiście od mianownika Np 1)dla licznika − mianownika + całośc bedzie − 2) dla licznika − mianownika − całośc + 3) dla licznka + mianownika − całośc −

Mila: Tak, normalnie znaki jak przy iloczynie, czy też ilorazie.