maturalne kamil: Pan Alojzy postanowił co miesiąc odkładać pewną sumę pieniędzy. W pierwszym miesiącu odłożył 100 zł, a w każdym następnym odkładał o 5% więcej niż w poprzednim. Razem z panem Alojzym oszczędzanie rozpoczęła jego małżonka, przy czym odłożyła ona w pierwszym miesiącu 110 zł, a w każdym następnym odkładała o 3% więcej, niż w poprzednim. Oblicz, która z tych dwóch osób zaoszczędzi więcej pieniędzy po roku oszczędzania.

Squall: pomagam

M.: uprzedziłeś mnie

M.: napisze tylko ze pan Alojzy bo sie powstrzymac nie moge

Squall: a₁=100 r=0,05*100=5 a₁₂=a₁+11r=100+55=155

	a1+a12		100+155
S12=		*12=		*12=255*6=1530
	2		2

b₁=110 r=0,03*110=3,3 b₁₂=a₁+11r=110+36,3=146,3

	a1+a12		110+146,3
S12=		*12=		*12=256,3*6=1537,8
	2		2

Odp. Więcej zaoszczędzi żona pana Alojzego

Squall: Mógłby ktoś sprawdzić, czy się nie rąbnąłem w obliczeniach

M.: oj no... pomylilo mi sie hehe. zazwyczaj w takich zadaniach zaoszczedza wiecej ta osoba po ktorej wydawaloby sie ze zaoszczedzi mniej

Krzysiek: y, nie? Pana Alojzy ma tak, że a₁=100,a₂=100+(0,05*100), a₃=a₂+(0,05*a₂), a nie po prostu za każdym razem o 5 zł więcej.

kamil: ale to nie jest chyba ciag arytmetyczny, bo r nie jest stale pisze o 5% wiecej w kazdym miesiacu niz w poprzednim

M.: hm... ja tez sie nacielam i rozwiazalam jak squall... Krzysiek ma racje

Squall: No to przecież tak liczyłem, Krzysiek

Krzysiek: 100*1,05⁽12)=100*1,79585633=179,5856 110*1,03⁽12)=110*1,42576089=125,6834 tym sposobem obliczyłem chyba sumę pieniędzy odłożoną w 12. miesiącu

Squall: aaa...mój błąd

Krzysiek: tam ma być 1,05¹² i 1,03¹²

M.: a czemu tam jest do 12 jak we wzorze jest qⁿ⁻¹

Krzysiek: no, rzeczywiście chyba coś mi się pomyliło.

v: f

kamil: ponawiam problem z zadaniem

kamil: ponawiam problem z zadaniem

Bogdan: Alojzy: 100 * 1,05¹² = żona Alojzego: 110 * 1,03¹² =

Krzysiek: Bogdan, ale jeśli potęgujemy do 12, to znaczy, że liczymy 13 miesiąc. 100−pierwszy 100*1,05−drugi 100*1,05²−trzeci, więc analogicznie 12 potęga oznacza 13 miesiąc.

kamil: ale to jest bledne z tresci zadania wynika ze w 1 miesiacu wplacil 100zl w drugim 5% wiecej niz wczesniej czyli 105zl czyli w 2 miesiace mial juz 205 tj wiecej niz wynika z twojego rozumowania Bogdanie

Krzysiek: rozumowanie jest dobre, tylko trzeba dać do potęgi 11. Chodzi o to, że wtedy obliczymy ile wyniosła ostatnia kwota pieniędzy jaką zbierał Alojzy i skoro ta wychodzi większa niż jego małżonce, to oczywistym jest, że przez cały okres zebrał więcej pieniędzy(bo tyle samo razy kumulowali pieniądze), nie trzeba nawet liczyć sumy.

kamil: tylko ze poczatkowe sumy sa wieksze przy malzonce. nie trzeba brac tego pod uwage/?

Darek: to cza z sumy z sumy na ciag geometryczny, gdzie mamy 11 wyrazow (bo chyba 1szego nie liczy sie, tez nie jestem pewny ), a₁ to 100 (u Pana) i 110 u Pani i q to 21/20 u Pana i 103/100 u Pani ^^

kamil: ale q nie jest stale, bo 5% ze stu jest czym innym niz 5% ze 105

Darek: q jest stale a sie zmienia a₁=a₁ ^^ a₂=a¹ * q a₃=a² * q q jest stale, to wyrazy wczesniejsze sie zmieniaja

Bogdan: A jeśli lokujemy w banku 100 zł na 12 lat i roczna stopa procentowa wynosi 5%, to jaką kwotę będziemy mieli po 12 latach przy rocznej kapitalizacji? Czy znacie wzór na obliczanie lokat bankowych?

Bogdan: Polecam 292

Bogdan: I nie 13 miesięcy tylko 12, bo pierwsza wpłata następuje z początkiem pierwszego miesiąca, druga z początkiem drugiego miesiąca, itd, dwunasta wpłata następuje z początkiem dwunastego miesiąca. Wszystkie wpłaty następują z początkiem miesiąca, a nie z końcem miesiąca.

Bogdan: Podałem rozwiązanie dla jednej wpłaty, a nie wpłat co miesiąc. Pierwsze 100 zł jest na lokacie 12 miesięcy, następne jest 11 miesięcy itd.

Bogdan: Ostatecznie, jeśli mamy oprocentowanie wpłat w wysokości p%, stałe cykliczne wpłaty w kwocie K zł oraz n okresów rozliczeniowych, to kwota końcowa K_K wyraża się wzorem:

	100		p
KK = K * (		+ 1) * [ (1 +		)n − 1]
	p		100

Ten wzór należy zastosować w tym zadaniu.

kamil: ok. moglbys Bogdanie powiedziec skad znasz ten wzor? a jesli sam o wyprowadziles to jak? wiem ze zaczyna to byc troche nudne ale chcialbym to dobrze zrozumiec

Bogdan: Mamy 12 okresów rozliczeniowych, czyli n = 12. Dla pana Alojzego p = 5 i K = 100, dla jego żony p = 3 i K = 110.

	100
Alojzy: KK = 100 * (		+ 1)(1,0512 − 1) = 1671,30 zł.
	5

	100
Żona Alojzego: KK = 110 * (		+ 1)(1,0312 − 1) = 1607,96 zł
	3

Bogdan: Jeśli w okresie rozliczeniowym kapitalizacja następuje m razy, to kwota końcowa wyraża się wzorem:

	100m		p
KK = K * (		+ 1) * [(1 +		)mn − 1]
	p		100m

M.: przy tych ciagach zawsze jest taki problem....

M.: ja bym pewnie obliczala do potegi 11...

Bogdan: Kilka dni temu na tym forum rozpatrywane było podobne zagadnienie. Ktoś wpłacał z początkiem każdego roku tę samą kwotę K na lokatę o rocznym oprocentowaniu p%, przy czym kapitalizacja odsetek była kwartalna (m = 4). Należało podać kwotę lokaty po n latach. Wtedy na potrzeby omawianego zagadnienia wyprowadziłem podany wzór korzystając z własności ciągu geometrycznego. Wyprowadzenie jest dość żmudne. Myślę, że wzór jest znany osobom zajmującym się zagadnieniami finansowymi.

M.: a taki wzorek mam zapisany w ten sposob K_k=K_p(1+^p₁₀₀)ⁿ n liczba miesiecy lub lat a p to procent

Bogdan: Wyobraźmy sobie następującą sytuację:

	p
1 stycznia wpłacamy K zł na 12 miesięcy na p%, K12 = K * (1 +		)12
	100

	p
1 lutego wpłacamy K zł na 11 miesięcy na p%, K11 = K * (1 +		)11,
	100

....

	p
1 grudnia wpłacamy K zł na 1 miesiąc na p%, K1 = K * (1 +		)1
	100

Dodajemy otrzymane kwoty: K₁₂ + K₁₁ + ... + K₁ = proszę spróbować dokonczyć.

Bogdan: M − wzór, który podałaś dotyczy prostej sytuacji, wpłata jest jedna = K_P, jest n okresów rozliczeniowych, kapitalizacja następuje raz − na końcu każdego okresu rozliczeniowego.

Bogdan: Jeszcze raz to zadanie. policzmy na "piechotę". Wszystkie poprzednie rozważania nie były zgodne z warunkami zadania, ponieważ żadna wpłata nie procentowała, natomiast każda wpłata była wyższa o pewien procent od poprzedniej. Alojzy żona A 0 100,00 zł 110,00 zł 1 105,00 zł 113,30 zł 2 110,25 zł 116,70 zł 3 115,76 zł 120,20 zł 4 121,55 zł 123,81 zł 5 127,63 zł 127,52 zł 6 134,01 zł 131,35 zł 7 140,71 zł 135,29 zł 8 147,75 zł 139,34 zł 9 155,13 zł 143,53 zł 10 162,89 zł 147,83 zł 11 171,03 zł 152,27 zł −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1 591,71 zł 1 561,12 zł

M.: to ja na maturze chyba najpierw policze na piechote a potem sprawdze ktorym wzorem mi wyjdzie to samo

Bart: a nie jest to czasem zwykły ciąg geometryczny? a1 = 100 zł a2 = a1 x 1,05 a3 = a2 x 1,05 = a,1 x1,05 x 1,05 = a1 x 1,05² an = a1 x q ⁿ⁻¹ wzór na sumę jest w karcie wzorów. Mylące zadanie, bo są oszczędności i procenty, a okazało się łatwe. Szkoda, że sam na to nie wpadłem..

Bogdan: Dzień dobry. Tak, każdy z ciągów jest geometryczny.

	1,0512 − 1
Alojzy: a1 = 100, q = 1,05, n = 12, SA12 = 100 *		= 1591,71.
	1,05 − 1

	1,0312 − 1
Żona A: b1 = 110, q = 1,03, n = 12, SZ12 = 110 *		= 1561,12
	1,03 − 1

Bart: dodam jeszcze, że jeśli dysponujemy tylko prostym kalkulatorem nie musimy obliczać tych kwot, wystarczy podzielić jeden zapis sumy przez drugi, lub odjąć. S1/S2 > 1, s1 > s2. S1 − S2 > 0, to s1 > s2. Tak chyba łatwiej?

Bogdan: Tak jest Bart, bo polecenie w zadaniu jest takie: "Oblicz, która z tych dwóch osób zaoszczędzi więcej pieniędzy po roku oszczędzania". Polecenie nie mówi o podaniu kwot, a dotyczy wskazania osoby, która będzie miała wyższą kwotę.