logika michał: Udowodnij, że przykłady są tautologiami: a) p v ¬p b) (¬p ⇒ p) ⇒ p c) p ⇒ p

michał: proszę o pomoc

Godzio: Takie proste przykłady możesz zrobić tabelką

Godzio: Pierwszy przykład: p ¬p p∨¬p 1 0 1 0 1 1

michał: c) p ⇒ p p 1 0 Zatem σ(T) lub σ(F), więc ostateczna odpowiedź: 1 ⇒ 1 T 0 ⇒ 0 T Zatem jest tautologią?

Godzio: Tak

michał: b) (¬p ⇒ p) ⇒ p p 1 0 Załóżmy, że (¬p ⇒ p) jest prawdą (T), natomiast p jest fałszem (F). To na podstawie drugiego możemy wywnioskować, że T ⇒ F co jest sprzecznością. Zatem cały przykład jest tautologią. Dobrze?

michał: A wiesz może jak trzeba zbadać czy podana formuła jest tautologią?

Godzio: Może dokładniej, zakładamy nie wprost, że zdanie: (¬p ⇒ p) ⇒ p jest fałszywe, wówczas: (¬p ⇒ p) = 1, p = 0 Skoro p jest fałszywe to (¬p ⇒ p) również jest fałszywe, sprzeczność, zatem założeniem było nieprawdziwe więc zdanie jest tautologią

Godzio: Pokaż, zobaczymy co da się zrobić

michał: ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) ∧ ¬(p ⇒ q ∨ r) ⇒ s ∨ t

Godzio: No to lecimy, załóżmy nie wprost, że formuła jest fałszywa, wówczas: [ ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) ∧ ¬(p ⇒ q ∨ r) ⇒ s ∨ t ] = 0 wtedy: ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) ∧ ¬(p ⇒ q ∨ r) ] = 1 i s ∨ t = 0 Dalej ciągniemy pierwszą część. ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) = 1 i ¬(p ⇒ q ∨ r) = 1 Teraz tylko drugą część p ⇒ q ∨ r = 0 p = 1 i q v r = 0 p = 1 i q = 0 i r = 0 Wracamy do ostatniego przejścia: ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) = 1 0 ∨ s ∨ t = 1 s v t = 1 sprzeczność (patrz na początek), przypuszczenie było fałszywe, zatem formuła jest tautologią,

michał: a można byłoby np.: 0 i 1? ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) ∧ ¬(p ⇒ q ∨ r) = 0? albo podzielić na dwie części np.: ((p ⇒ q ∨ r) ∨ s ∨ t) ∧ ¬(p ⇒ q ∨ r) ⇒ s ∨ t ?

Godzio: Nie, bo koniunkcja ma pierwszeństwo przed implikacją

Godzio: A 0 i 1 nie może być bo nie zakładasz sprzeczności

michał: kolejność to negacja, koniunkcja, alternatywna, implikacja i równoważność. Ale jak to zobaczyłeś? I to zdanie, że koniunkcja ma pierwszeństwo przed implikacją czego się tyczy?

michał: Mógłbyś dokładnie napisać jak to zrobiłeś? Bo przyrównujesz do zera nie wiem skąd, ale sam zakładasz przecież sprzeczność.

Godzio: Co zobaczyłem ? Tyczy się Twojego drugiego pytania, nie można tak podzielić zdania

michał: Dlaczego?

Godzio: A co by Ci dał taki podział ?

michał: no właśnie tego nie rozumiem, umiem póki co udowadniać takie proste przykłady jak w 1 zadaniu z dowodu nie wprost lub tabelki. Mógłbyś wytłumaczyć krok po kroku co tutaj zrobiłeś?

Godzio: Dowód nie wprost polega na założeniu fałszywości i doprowadzeniu sprzeczności, najlepszym że tak powiem "polem" pod ten dowód jest gdy mamy taką formułę: COŚ(1) ⇒ COŚ(2) Wtedy jeżeli założymy sprzeczność to mamy tylko JEDEN przypadek: COŚ(1) = 1 COŚ(2) = 0 I teraz doprowadzamy, różnymi metodami, do sprzeczności

michał: To akurat rozumiem

Godzio: No i na tym bazowałem

michał: Tylko, że tego nie widzę.

Godzio: Rozdzielam sobie na 2 zdania, tak, żeby łączyła je implikacja, tyle