Kongruencje hugo: Niech m>1 będzie liczbą naturalną. Wykazać, że jeżeli liczba 2^m+1 jest pierwsza, to m jest liczbą parzystą. 2^m+1=1 (mod 3) v 2^m+1=2 (mod 3) 2^m=0(mod 3) sprzecznosc 2^m+1=2 (mod 3) 2^m=1 (mod 3) 2²=1 (mod 3) / ^p 2^2p =1(mod 3) ⇒ m=2p gdzie p∊C. Może coś takiego być? Jak to poprawnie zapisać?

hugo: Vax albo ktoś ?

hugo: I jeszcze to: Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba 3ⁿ−1 jest podzielna przez 7. 3ⁿ−1=0 (mod 7) 3ⁿ=1 (mod 7) Łatwo pokazać, że liczba 3ⁿ przy dzieleniu przez 7 nie daje reszty 1, tzn: 3²=2 (mod 7) 3³=6 (mod 7) 3⁴=4 (mod 7) 3⁵=5 (mod 7) itd. więc jedyną liczbą naturalną spełniającą treść zadania jest n=0.

hugo: Dobrze są?

Vax: 1) Nie wprost, niech 2^m+1 będzie pierwsze i m będzie nieparzyste, tj m = 2k+1 , k ≥ 1, ale wtedy: 2^m+1 = 2^2k+1+1 = (2+1)(2^2k−2^2k−1+...−2+1) Co jako iloczyn 2 liczb naturalnych różnych od 1 (drugi czynnik jest > 1) nie może być liczbą pierwszą, sprzeczność. 2) Tutaj zauważasz, że 3⁶ = 1 (mod 7) (możesz liczyć, możesz powołać się na małe twierdzenie fermata), dodatkowo dla n=1,2,3,4,5 nie dostajemy 1 (można to sprawdzić np jak Ty, tj ręcznie licząc), więc wszystkie takie n są postaci n = 6k , k ∊ ℤ

hugo: A w tym twoim pierwszym ten iloczyn, chodzi mi o to jak to sobie rozwaliłeś i czy ta koncowka na bank się skraca

Vax: Ze wzoru a^2k+1+b^2k+1 = (a+b)(a^2k−a^2k−1b+a^2k−2b²−...+a²b^2k−2−ab^2k−1+b^2k), podstaw a=2 , b=1

hugo: Dobra już nic na wiki znalazłem ten wzorek

hugo: Taa, dzięki wielkie!

hugo: A jeszcze takie 1+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ jest podzielne przez 5 mam wyznaczyc n∊N. zauważam, że 2³=3 mod 5 3³=2 mod 5 4³=4 mod 5 sumujesz reszty dostaje 10=0 mod 5 więc trojka spelnia i znowu: 2³³=2 mod 5 3³³=3 mod 5 4³³=4 mod 5 czyli dla n=3^p p∊N tak?

hugo: To 3⁶=1 mod 7 nieźle, pierwszy raz widzę twierdzenie Fermata, ale to ułatwia.

Vax: 1+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ = 1+2ⁿ+(−2)ⁿ+(−1)ⁿ (*) (mod 5) Jeżeli n jest nieparzyste, to z pewnością to jest równe 0, czyli wszystkie nieparzyste n działają, a jeżeli jest parzyste, to (*) = 1+2ⁿ+2ⁿ+1 = 2+2ⁿ⁺¹ = 2(1+2ⁿ) (mod 5) Więc jeżeli to ma być równe 0 (mod 5), to 2ⁿ+1 = 0 (mod 5) ⇔ 2ⁿ = 4 (mod 5) ⇔ 2ⁿ⁻² = 1 (mod 5) I jak poprzednio widzimy, że 2¹ = 2(5) , 2² = 4(5) , 2³ = 3(5) , 2⁴ = 1 (5) (i tutaj to się zapętla), więc 2ⁿ⁻² = 1 (mod 5) wtedy i tylko wtedy, gdy 4 | n−2 ⇔ n = 4k+2 Czyli teza działa dla wszystkich nieparzystych n i wszystkich n postaci 4k+2, co można zapisać prościej: Teza działa dla wszystkich n niepodzielnych przez 4

hugo: Co trzeba robić, żeby tak ogarniać te zadanka?