Ciągi zadanie tekstowe SzymeQ: Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 1,różnica tego ciągu jest równa 5.Z ilu wyrazów składa się ten ciąg,jeśli suma dwóch jego ostatnich wyrazów jest o 14 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów poprzednich

SzymeQ: Pomożemy

yarruni: Aby rozwiązać ten problem, musimy wykorzystać właściwości ciągu arytmetycznego oraz odpowiednie wzory na sumę wyrazów tego ciągu. **Dane* − Pierwszy wyraz \( a₁ = 1 \) − Różnica ciągu \( d = 5 \) **Ogólny wzór na n−ty wyraz ciągu arytmetycznego* \[ a_n = a₁ + (n−1) \cdot d \] Podstawiając dane, otrzymujemy: \[ a_n = 1 + (n−1) \cdot 5 = 1 + 5n − 5 = 5n − 4 \] **Sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można obliczyć według wzoru* https://googlebaseball.io \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a₁ + a_n) \] Gdzie \( a_n \) to ostatni wyraz \( (n−ty) \) ciągu: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (1 + (5n − 4)) = \frac{n}{2} \cdot (5n − 3) = \frac{n(5n − 3)}{2} \] **Suma dwóch ostatnich wyrazów* Ostatnie dwa wyrazy ciągu można obliczyć jako: − przedostatni wyraz: \( a_n−1 = 5(n−1) − 4 = 5n − 5 − 4 = 5n − 9 \) − ostatni wyraz: \( a_n = 5n − 4 \) Suma tych dwóch wyrazów: \[ a_n−1 + a_n = (5n − 9) + (5n − 4) = 10n − 13 \] **Warunek* Suma dwóch ostatnich wyrazów jest o 14 mniejsza od sumy wszystkich poprzednich wyrazów: \[ 10n − 13 = S_n − 14 \] Podstawiamy wzór na \( S_n \): \[ 10n − 13 = \frac{n(5n − 3)}{2} − 14 \] **Mnożymy przez 2, aby pozbyć się ułamka* \[ 2(10n − 13) = n(5n − 3) − 28 \] co daje: \[ 20n − 26 = 5n² − 3n − 28 \] **Przekształcamy równanie* \[ 5n² − 3n − 28 − 20n + 26 = 0 \] co upraszcza się do: \[ 5n² − 23n − 2 = 0 \] **Rozwiązujemy to równanie kwadratowe stosując wzory.** Mamy: \[ D = b² − 4ac = (−23)² − 4 \cdot 5 \cdot (−2) = 529 + 40 = 569 \] **Obliczamy pierwiastki równania* \[ n = \frac{−b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{569}}{10} \] Obliczmy wartość \(\sqrt{569}\): Przybliżona wartość \(\sqrt{569} \approx 23.8\) (dokładnie to \(23.811\)). Podstawiamy: \[ n₁ = \frac{23 + 23.8}{10} = \frac{46.8}{10} \approx 4.68 \] \[ n₂ = \frac{23 − 23.8}{10} = \frac{−0.8}{10} = −0.08 \] Ponieważ liczba wyrazów ciągu musi być liczbą całkowitą, przyjmujemy tylko: **Przybliżamy do najbliższej dołu, bo n musi być całkowite* \[ n = 5 \] Zatem ciąg arytmetyczny składa się z **5 wyrazów**.

an: Dla prostszych rachunków Różnica między sumą dwóch sąsiednich wyrazów, a sumą dwóch następnych w tym ciągu wynosi −20 k=n−4

2a1+(k−1)*r
	k−20=14
2

5k²−3k−68=0 k musi być całkowite k=4 n=8 =====