Całka Zapominalski: Jak obliczyć całkę: Całka √1−x² dx

loitzl9006: można podstawić x = sin(t) i powinno dalej jakoś pójść (wyznaczasz x², dx, korzystasz z jedynki trygonometrycznej)

Zapominalski: okej, dzięki zobaczę czy coś wyjdzie

Zapominalski: a co z dx?

loitzl9006: dx = cos(t) dt

loitzl9006: różniczkujesz stronami równość x=sin(t)

Vereczek: przepraszam ale czy czasem jedynka trygonometryczna nie została obalona?

loitzl9006: Nie, dlaczego?

Vereczek: a praca doktorska mgr z politechniki wrocławskiej ?

Zapominalski: czyli dostane całka cost cost dt? a taką całkę to już wiem jak policzyć. Dzięki!

loitzl9006: Nie widziałem tej pracy... Całka taka w liczbach rzeczywistych ma sens dla 1−x²≥0 czyli dla x∊<−1;1> Po podstawieniu funkcją podcałkową będzie 1−sin²t=cos²x i to wyrażenie będzie zawsze nieujemne, zatem można dokonać uproszczenia √(cosx)² = cos x i dojść do całki ∫ cos²x dx

Zapominalski: tak to miałem na myśli tylko, że zmienna t, a nie x.

loitzl9006: no dokładnie t zamiast x

Zapominalski: Doszedłem do momentu 1/2(costsint+t) i teraz musiałbym wrócić do zmiennej x, ale nie wiem jak takie coś się robi gdy x=sint

loitzl9006: Licząc ∫ cos²t dt wykorzystujesz to, że cos 2t = 2cos²t − 1 czyli

	cos 2t + 1		cos 2t		1
cos2t =		=		+
	2		2		2

i rozbijasz na sumę całek a takie coś jak ∫ cos 2t dt można łatwo policzyć przez podstawienie za 2t

Krzysiek: całkę ∫√1−x² dx można policzyć też tak:

	−x2
∫√1−x2dx=∫(x)' √1−x2 dx =x√1−x2−∫		dx=
	√1−x2

	1−x2		1		1
x√1−x2−∫		dx+∫		dx =x√1−x2 +∫		dx −∫√1−x2dx
	√1−x2		√1−x2		√1−x2

zatem:

	1		1		1		1
∫√1−x2 dx =		(x√1−x2 +∫		dx ) =		x√1−x2 +		arcsinx+C
	2		√1−x2		2		2