Dowodzik Zawodowiec: udowodnic że dla ciagu nierosnącego, ograniczonego jego granica jest równa supremum zbioru jego wyrazów. Ktoś jakis pomysł? mam pewien pomysł, ale czekam na jakies wskazówki początkowe.

Basia: przecież to nieprawda

	1
an =
	n

jest malejący więc i nierosnący jest ograniczony 0 < a_n ≤ 1 sup {a_n} = 1 lim_n→∞ a_n = 0 albo miał być niemalejący, albo miało być infimum

Zawodowiec: przepraszam... niemalejacego

Zawodowiec: up

Basia: dzisiaj już nie bardzo myślę, ale z definicji chyba s = sup {a_n} ⇒ ∀_s1<s ∃_n1 a_n1>s₁ ⇒ ponieważ ciag jest niemalejący ∀_s1<s ∃_n1 ∀_n≥n1a_n>s₁ gdyby więc g=lima_n < s to ∃_n1 ∀_n≥n1a_n>g a to jest sprzeczne z definicją granicy dla g>s z definicji granicy ∀_ε>0 ∃_n0 ∀_n>n0 g−ε < a_n < g+ε

	s−g
podstaw teraz ε =		i dostaniesz
	2

	g+s
∀ε>0 ∃n0 ∀n>n0		< an
	2

g>s s≥s g+s > 2s

g+s
	> s
2

czyli byłoby

	g+s
∀ε>0 ∃n0 ∀n>n0 s<		< an
	2

co jest sprzeczne z definicją supremum

Basia: dopisek do przypadku g<s tam ma być tak:

	s−g		g+s
g+		=		< s
	2		2

czyli na mocy def.supremum

	s−g
istnieje n1, że an1 > g+
	2

a ponieważ ciąg jest niemalejący to

	s−g
∃n1 ∀n≥n1 an > g+
	2

	s−g
no a podstawiając ε =		i z def. granicy dostaję
	2

	s−g
∃n2 ∀n>n2 an < g+
	2

i dla n ≥ n₃ = max(n₁;n₂) mam oczywistą sprzeczność