całka daniel: oblicz całke nieoznaczona

	dx
∫		=...
	x3+1

Krzysiek: w mianowniku skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: a³ +b³ =... a następnie rozbij ułamek na ułamki proste

daniel:

1		Ax+B		Cx+D		Ex+F
	=		+		+
x3+1		x+1		x2+1		x3+1

a³+3a²b+3ab²+b³=x³+3x²+3x+1

dx		A		B		C		D		F
	−3x2−3x}=		+		+		−2		−		= ...
(x+1)3		x+1		(x+1)2		(x+1)3		3x		3x2

dobrze kombinuje z tym rozkladem czy nie zle ? nie mialem jeszcze dokladnie tego omowionego wiec prosze tylko powiedziec czy wstep dobry

daniel: aa nie wszystko do dupy x³+1= (x+1)(x²−x+1) juz kminie tylko jak rozkladac ?

Basia: źle; x³+1 = (x+1)(x²−x+1)

1		A		Bx+C
	=		+
x3+1		x+1		x2−x+1

daniel: A(x²−x+1)+(Bx+C)x+1= 1 Ax²−Ax+A+Bx²+Cx+B+C=1 A+B=0 −A+C=0 A+B+C=1 C=1 A=C=1 B=−1

1		−x+1
	+
x+1		x2−x+1

i teraz jak całkie z tego policzyc ?

Krzysiek: rozbijasz na sumę całek, pierwszą liczysz korzystając z podstawowych wzorów (możesz zastosować podstawienie: t=x+1 ) drugą całkę:

	−x+1		1		(x2 −x+1)'		1		1
∫		dx =∫−				dx +		∫		dx
	x2 −x+1		2		x2 −x+1		2		(x−1/2)2 +3/4

i z tych dwóch całek znów pierwszą liczysz korzystając z podstawowych wzorów a drugą policzysz korzystając z funkcji arctg

Basia:

	1
∫		dx = ln|x+1|+C
	x+1

	−x+1		x−1
∫		dx = −∫		dx =
	x2−x+1		x2−x+1

	1		2(x−1)
−		∫		dx =
	2		x2−x+1

	1		2x−1−1
−		∫		dx =
	2		x2−x+1

	1		2x−1		1
−		*[ ∫		dx − ∫		dx ]
	2		x2−x+1		x2−x+1

pierwsza przez podstawienie t = x²−x+1 druga tak: x²−x+1 = (x−¹₂)² + ³₄ =

3		(x−12)2
	*[		+ 1 ] =
4		34

3		4(x−12)2
	*[		+ 1 ] =
4		3

3		2x−1
	*[ (		)2+1]
4		√3

i podstawienie

	2x−1
u =
	√3

daniel: ok dziekowac