problem TOmek: dowiesc, ze liczba log (podstawa 10) 20 jest niewymierna. przepraszam za zapis ale nie mam tego dolnego znaku.

	m
robie dowod nie wprost. zapisuje to jako log10(20)=		dochodze do postaci
	n

20ⁿ=10ⁿ. i nie wiem co dalej

Godzio: log₁₀20 = log₁₀(2 * 10) = 1 + log₁₀2

	p
log102 =		⇔ 10p/q = 2 ⇔ 10p = 2q, p,q względnie pierwsze liczby całkowite, q ≠ 0
	q

Wystarczy teraz pokazać, że 2^q nie dzieli 10 aby doprowadzić do sprzeczności, a to jest bardzo proste, 2⁰ = 1 2¹ = 2 2² = 4 2³ = 8 2⁴ = 16 2⁵ = 32 2⁶ = 64 Aby liczba była podzielna przez 10, musi mieć na końcu 0, jak widać, kolejne potęgi 2 mają końcówki: 2,4,8,6, więc nie ma opcji, aby 2^q = 10^p

Amaz: 20ⁿ = 10^m 2ⁿ10ⁿ = 10^m 2ⁿ = 10^m−n 2ⁿ = 2^m−n5^m−n /:2ⁿ 1 = 2^m−2n*5^m−n A to jest nieprawda, bo albo m−2n=0 i m−n=0, co jednoczesnie jest niemożliwe (z wyjątkiem m=n=0) albo 2^m−2n*5^m−n skraca się ze sobą, co jest niemożliwe, bo jesli 2n>m, to liczba 2^m−2n jest ułamkiem, co ma w mianowniku liczbę parzystą i nigdy nie skróci się z czymś takim jak: 5^m−n, bo jest to liczba nieparzysta.

Amaz: No a jesli m>2n, to obie liczby są większe niz 1, więc ich iloczyn nie da jedynki.

%253Cb%2520style%253D%2522color%253A%2523e87a2c%2522%253ETOmek%253A%253C%252Fb%253E%2520znalazlem%2520tez%2520inny%2520sposob%252C%2520dzieki%2520xd%250A%250A

Amaz: Godzio Twój dowód też dobry, ale zapomniałeś powiedzieć o tym, że ta liczba musiałaby być podzielna jeszcze przez pięć, co jest niemożliwe, bo liczba 2^q ma w rozkładzie na czynniki pierwsze same dwójki. To, że pokazałeś pierwsze 7 wyrazów, to za mało.

Godzio: Pokazałem 7 pierwszych wyrazów i napisałem że te końcówki się powtarzają, co jest w miarę oczywiste, więc nie ma potrzeby mówienia o podzielności przez 5.

TOmek: napisalem wczoraj dziekuje ale cos mi sie nie wyslalo.