punkt skupienia ciągu ohayou: Oblicz punkt skupienia ciągu:

	nπ
bn=cos
	8

Proszę o pomoc domyślam się, że należy policzyć tego granice, aby wiedzieć do jakiego punktu zmierza ciąg.

Basia: ten ciąg z całą pewnością nie ma granicy, co bardzo łatwo udowodnić podciąg wyrazów ze wskaźnikami podzielnymi przez 16

	16kπ
b16k = cos		= cos2kπ = 1 i dąży do 1
	8

a podciąg wyrazów ze wskaźnikami podzielnymi przez 8, ale niepodzielnymi przez 16 b_8(2k+1) = cos(2k+1)π = −1 i dąży do −1 ale punkt skupienia to nie to samo co granica z tym, że zbiór wartości tego ciągu jest zbiorem nie tylko przeliczalnym jest zbiorem skończonym należą do niego liczby

	π		2π		3π		8π
b1=cos		; b2=cos		; b3=cos		,....,b8=cos		= cosπ,
	8		8		8		8

	9π		15π		16π
b9=cos		,.....,b15=cos		, b16=cos		=cos2π
	8		8		8

następne już będą się powtarzać

	17π		π		π
cos		= cos(2π+		) = cos		= b1
	8		8		8

i tak dalej a jeżeli dobrze pamiętam zbiór skończony nie może mieć punktów skupienia

b.: zbiór nie, ale ciąg tak, zbiór punktów skupienia ciągu to zbiór wszystkich granic podciągów zbieżnych, tzn. jest to zbiór { g: lim b_kn = g dla pewnego podciągu (b_kn) ciągu (b_n) } w tym akurat przypadku będzie to zbiór wartości tego ciągu, wypisany przez Basię

b.: ,,zbiór nie, ale ciąg tak'' <− ta moja początkowa uwaga jest bez sensu, proszę ją zignorować.

Basia: A jednak źle pamiętam. "Punkt p jest punktem skupienia ciągu , jeżeli z tego ciągu można wyrwać podciąg zbieżny do p." No to Twój ciąg ma 16 punktów skupienia Już je tam wyżej wypisałam. To będą te wartości: b₁,b₂,....,b₁₆ niektóre są do policzenia "z marszu", inne do odczytania z tablic

	π
b16k+1 → b1= cos
	8

	2π		π		√2
b16k+2 → b2 = cos		= cos		=
	8		4		2

	3π
b16k+3 → b3 = cos
	8

	4π		π
b16k+4 → b4 = cos		= cos		= 0
	8		2

...................................

	15π		7π		7π
b16k+15 → b15 = cos		= cos(π+		) = −cos
	8		8		8

b_16k+16 → b₁₆ = cos2kπ = 1