pytanie tn: cześć Na czym polega metoda analizy starożytnych bo nie widzę różnicy ze zwykłym przekształcaniem ⇔ rozwiązywaniem równania

Basia: o ile pamiętam metoda analizy starożytnych = metoda równań równoważnych czyli to jest to samo ale głowy nie dam

ZKS: W metodzie analizy starożytnych nie ustalamy dziedziny tylko otrzymane wyniki sprawdzamy czy są poprawne.

pigor: .. a metoda równań równoważnych to najpierw ustalamy dziedzinę , a potem w niej "jedziemy" z równaniami równoważnymi i nie musimy sprawdzać wyników w równaniu wyjściowym , jeśli jesteśmy... pewni, że kolejne równania były ... równoważne. ...

tn: ok, a więc nie muszę znać tej metody Jak rozwiązać coś takiego: √2+x−x² > x−4 D = <−1, 2> jeśli podniosę stronami do kwadratu, otrzymam zbiór pusty, a powinna wyjść dziedzina, co jest grane?

ZKS: Możesz podnieść do kwadratu jeśli L ≥ 0 oraz P ≥ 0 x ∊ [−1 ; 2] ∧ x > 4 brak części wspólnej. Teraz zauważamy jeżeli L ≥ 0 a P < 0 to mamy rozwiązanie. x ∊ [−1 ; 2] ∧ x < 4 ⇒ x ∊ [−1 ; 2].

tn: Ok, a nie mogę tego rozwiązać jakoś siłowo? Czy analiza tego jaka jest lewa a jaka prawa strona zawsze przyniesie prawidłowy efekt?

tn: a niby dlaczego nie można podnieść ujemnej strony do kwadratu bo nie rozumiem?

Basia: bo takie nierówności nie są równoważne 2 > −10 prawda 4 > 100 fałsz

tn: jej, a co to znaczy są równoważne?

ZKS: Masz równanie przykładowo takie: x = 1 / ² obustronnie do kwadratu x² = 1 ⇒ x = ±1 a na początku przecież było x = 1 a dostaliśmy jeszcze jedno rozwiązanie.

tn: faktycznie to jest bardzo dziwne. niby x= 1 przeształcając równoważnie: x+5 = 6 x= 1 (nadal tak jest) A kwadrat psuje to trochę. Nie rozumiem tego trochę, co mam robić aby sobie radzić z pierwiastkami − kwadratowaniem ich − jak to zrozumieć

pigor: .... otóż, tak : D={x∊R: 2+x−x² ≥} = <−1;2> i w niej mam alternatywę nierówności równoważnych : √2+x−x² >x−4 ⇔ (√2+x−x² >x−4 i x−4<0) lub (√2+x−x² >x−4 i x−4 ≥0} ⇔ ⇔ (√2+x−x² >x−4 i x<4) lub (√2+x−x² >x−4 i x ≥4} ⇔ (x∊D i x<4) lub (x∊D i x≥4) ⇔ x∊D lub x∊∅ ⇔ x∊D=<−1;2> ,. ... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ... a więc nie miałeś prawa podnosić obu stron nierówności do kwadratu i tyle .

ZKS: Napisałem co robić kiedy masz pierwiastek parzysto krotny. 1^o Ustalasz dziedzinę. 2^o Zakładasz że obydwie strony są nieujemne. 3^o Podnosisz do kwadratu.

Basia: to znaczy, że zawsze mają tę samą wartość logiczną przykład: x>2 i x²>4 nie są równoważne, bo np. dla x=−5 pierwsza jest fałszywa, a druga prawdziwa inaczej mówiąc czy wynikanie "chodzi" w obie strony jeżeli x>2 to x²>4 (to prawda) ale w drugą nie idzie x²>4 ⇒ x>2 (tak być nie musi, np. dla x=−5) x²>4 ⇔ (x>2 lub x< −2)

tn: Jak Ty to robisz? Jakby osobno przyrównujesz do zera lewą i prawa stronę?

ZKS: Porób przykłady a nauczysz się jak rozwiązywać tego typu zadania a tak kładzenie wiedzy na sucho nic nie daje trzeba jeszcze rozwiązywać zadania z danych działów.

tn: Zakładasz że obydwie strony są nieujemne. Na czym polega takie założenie?

tn: ja właśnie w tej chwili siedzę przed zbiorem nie kapuję

tn: 1+√x+5 > x Dziedzina to : x≥−5 √x+5 x−1 x+5 > x²−2x+1 x∊( −1,4) i x∊D x∊Φ dobrze czy źle?

ZKS: To wrzucaj tutaj zadania i próbuj je rozwiązywać jeżeli coś będzie wątpliwe to ktoś wytłumaczy lub naprowadzi na poprawne rozwiązanie.

ZKS: 1 + √x + 5 > x √x + 5 > x − 1 Teraz dziedzina i zakładasz że obydwie strony są nieujemne.

ZKS: Lub można to zrobić tak: √x + 5 > x + 5 − 6 zał. x ≥ −5 podstawiamy za √x + 5 = t ≥ 0 t > t² − 6 t² − t − 6 < 0 i rozwiązujesz tą nierówność pamiętając o założeniach.

pigor: ... tn. zadaj sobie trochę trudu i przejrzyj moje rozwiązanie, a jak widzę ty słuchasz tylko siebie

tn: jeśli założe że obie strony są nieujemne, to pokrzywdzone zostanie mozliwosc ujemnej prawej strony

ZKS: Ale najpierw zakładasz że są nieujemne a następnie zauważasz że jeśli L ≥ 0 ∧ P < 0 to dostajemy od razu rozwiązanie.

ZKS: A próbowałeś robić przez to podstawienie co podałem? t² − t − 6 < 0 (t − 3)(t + 2) < 0 ⇒ t ∊ (−2 ; 3) ∧ t ≥ 0 ⇒ t ∊ [0 ; 3) 0 ≤ √x + 5 < 3 / ² 0 ≤ x + 5 < 9 −5 ≤ x < 4 ⇒ x ∊ [−5 ; 4)

pigor: .,.. no to nieco inaczej np, tak : D=<−5;+∞) , to √x+5 >x−1 i x∊<−5;+∞) ⇔ ⇔ [√x+5 >x−1 i x∊<−5;+∞) i x−1<0)] lub [√x+5 >x−1 i x∊(−5;+∞) i x−1 ≥0] ⇔ ⇔ [√x+5 >x−1 i x∊< −5;1)] lub [x+5 >x²−2x+1 i x∊<1;+∞)] ⇔ ⇔ [x∊R i x∊<−5;1)] lub [x²−3x−4<0 i x∊<1;+∞)] ⇔ ⇔ [n[x∊<−5;1)] lub [ x∊(−4;1) i x∊<1;+∞)] ⇔ [n[x∊<−5;1)] lub x∊ ∅ ⇔ x∊<−5;1) .

ZKS: pigor coś namieszałeś bo x ∊ [−5 ; 4).

ZKS: Tutaj: x² − 3x − 4 < 0 ⇒ x ∊ (−1 ; 4).

pigor: ... jasne , przepraszam i powtarzam 2 ostatnie linijki [x∊R i x∊<−5;1)] lub [x²−3x−4<0 i x∊<1;+∞)] ⇔ ⇔ x∊<−5;1) lub [x∊(−1;4) i x∊<1;+∞)] ⇔ [n[x∊<−5;1)] lub x∊ ∅ ⇔ ⇔ x∊<−5;4) − szukany zbiór rozwiązań danej nierówności .

ZKS:

pigor: ... kurcze jeszcze raz , coś wklejanie mi nie zadziałało

pigor: ... ⇔ x∊<−5;1) lub [x∊(−1;4) i x∊[1;+∞)] ⇔ x∊<−5;1) lub x∊<1;4) ⇔ ⇔ x∊<−5;4) − szukany zbiór rozwiązań danej nierówności .

ZKS: Nie ma zainteresowanego (autora) to nie potrzebnie było pisane.

pigor: ... ach, chciałem zamknąć jakoś z czystym sumieniem swój udział w tym temacie i już mnie nie tu nie ma . ...

tn: Czyli generalnie jeśli mam "gołe iksy" i iksy pod pierwiastkie to będę miał dwa przypadki w szczególności √byle co > ujemne → zachodzi zawsze

ZKS: Jak "byle co" tam nie możesz mieć tylko "nieujemne byle co".

tn: rozumiem chyba już: Muszę się uważnie przyglądać się czy nie mam przypadkiem gołych iksów w połączeniu z pierwiastkami z iksów