równania kwadratow z parametrem ulka: wyznacz wartości parametru t, dla których równanie : a) ma 2 pierwiastki rzeczywiste tych samych znaków czyli : a ≠0 , Δ >0 , c/a >0 (t² +t −6)x² −2(t+3)+1 = 0 b) ma 2 pierwiastki rzeczywiste przeciwnych znaków (t+t)x²−(t−2)x +1=0 −x²+3(t+1)x − (t² −1)=0 c) ma 2 dodatnie pierwiastki rzeczywiste x² + (1/2 t +1)x + 1/4 − t = 0 (t+3)x² +tx+ 0,25t +1 = 0 d) ma 2 różne pierwiastki ujemne rzeczywiste x² +(2−1)x +3 − t =0 (t+1) x² + 4tx + 4(t−1)=0

Mati_gg9225535: w przykładzie a) Δ≥0

ulka: nie... Δ >0 , tak pani podała..

Mati_gg9225535: jakby bylo ze dwa rozne pierwiastki rzeczywiste to > ale co jesli bedzie (x−2)²=0 wtedy 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym więc mamy dwa rozwiazania mające ten sam znak

Mati_gg9225535: czyli pani chyba za szybko coś dyktowała lub zle przepisalas

ulka: no to więc ≥... tylko nie wiem jak rozwiązać te równania.

ulka: prosze o pomoc

Mati_gg9225535: no wiec na przykladzie a Ci wytłumaczę: (t² +t −6)x² −2(t+3)+1 = 0 masz równanie kwadratowe postaci ax²+bx+c=0 przy czym b=0 zeby i zeby to rownanie mialo dwa pierwiastki rzeczywiste tych samych znaków musi ono spelniać te warunki: 1) a≠0, ( bo gdyby a było zerem to równanie mialoby postać liniową, a takie równanie nie ma 2 rozwiązań nigdy więc odpada) 2) Δ≥0 (bo gdy Δ<0 wtedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, a gdy Δ=0 wtedy ma tylko jedno rozwiazanie) 3) x₁*x₂>0 ⇒ ^c_a≥0 to warunek z wzorów Viete'a ( a znak >0 dlatego że jesli pomnozysz przez siebie dwie liczby dodatnie lub dwie liczby ujemne to tak czy tak wynik musi wyjsc dodatni)

Mati_gg9225535: b) 2 pierwiastki rzeczywiste przeciwnych znaków 1) a≠0 (wiemy juz dlaczego) 2) Δ>0 ( delta nie moze byc Δ=0, bo wtedy rozwiązaniem może być liczba tylko dodatnia lub tylko ujemna) 3) x₁*x₂<0 ( bo jakiekolwiek liczby które są przeciwnych znakow przy mnozeniu daja ujemny wynik)

Mati_gg9225535: c) ma 2 dodatnie pierwiastki rzeczywiste 1) a≠0 2) Δ≥0 3) x₁*x₂>0 (wiemy dlaczego, ale to nam nie załatwia sprawy, bo również dwie ujemne liczby spełniają ten warunek, a my szukamy dwóch dodatnich, zatem musimy dopisac kolejny warunek oparty na wzorach Viete'a)

	−b
4) x1+x2>0 ⇒		>0 (bo suma jakichkolwiek dwóch liczb dodatnich jest zawsze wieksza od
	a

zera )

Mati_gg9225535: dla przykładu d) warunki spróbuj ustalić sama w razie czego pytaj śmiało

ulka: chyba musze sobie z tego korki załatwić... nie bardzo umiem wyliczyć Δ jak jest np t²+t >6 to t > 6−t² ?

Mati_gg9225535: nie nie w nierownosci kwadratowej wszystko na jedną stronę przenosimy i liczymy delte

ulka: czyli jak to ma być?

ulka: jeśli Δ = t²+t−6 >0

Mati_gg9225535: jesli Ci wyszło t²+t>6 przenosisz 6 otrzymując t²+t−6>0 i wyliczasz deltę Δ=1−(−24)=25 √Δ = 5

	−1−5		−1+5
t=		v t=
	2		2

t=−3 v t=2

ulka: a jaki jest wzór na tą Δ by wyliczyć t1 i t2

ulka: hm...?

Mati_gg9225535:

	b2−4ac
taki sam jak na każdą deltęprzy równaniu kwadratowym Δ=
	2a

Mati_gg9225535: jejku co ja napisałem przepraszam Cię, samo b²−4ac

ulka: a jeśli równanie ma 2 różne ujemne pierw. rzeczywiste to jaka bd Δ (?) 0 i c/a (?) 0

ulka: jakie jest wtedy Δ?

Mati_gg9225535: jesli ma 2 różne to Δ>0 , a jesli po prostu 2 niekoniecznie różne wtedy Δ≥0

Mati_gg9225535: 2 różne czyli x₁*x₂<0 bo ujemna liczba razy dodatnia jest zawsze wynik da ujemny więc

	c
		<0
	a