Funkcje Ann: Uzupełnić wypowiedź twierdzenia słowami ”rosnąca” lub ”malejąca”, a następnie je udowodnić: Niech X, Y ⊂ R oraz f : X → Y jest bijekcją. Jeżeli f jest funkcją rosnącą, to f⁻¹ jest . . . . . .. Jeżeli f jest funkcją malejąca, to f⁻¹ jest . . . . . .. Wydaje mi się, że jeśli f jest rosnąca, to f⁻¹ też jest rosnąca. Jeśli f jest malejąca, to f⁻¹ jest malejąca. Nie potrafię tylko udowodnić. Próbowałam na przykład tak x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂) def. f malejącej. Zatem funkcja odwrotna

f(x2)−f(x1)
	>0
f(x1)f(x2)

Nie wiem co dalej i czy w ogóle dobrze zaczęłam

Basia: jeżeli f jest rosnąca to f⁻¹ jest rosnąca jeżeli f jest malejąca to f⁻¹ jest malejąca 1. f jest rosnąca ⇔ ∀_y1,y2∊D [ y₁<y₂ ⇒ f(y₁) < f(y₂) ] przypuśćmy, że f⁻¹ nie jest rosnąca to jest możliwe ⇔ ∃{x₁,x₂∊D⁻¹ [ x₁<x₂ i f⁻¹(x₁) ≥ f⁻¹(x₂) f⁻¹(x₁) = y₁ ⇔ f(y₁) = x₁ f⁻¹(x₂) = y₂ ⇔ f(y₂) = x₂ wówczas byłoby x₁ < x₂ ∧ y₁ ≥ y₂ ale f jest rosnąca czyli skoro y₁ ≥ y₂ ⇒ f(y₁) ≥ f(y₂) ⇒ x₁≥x₂ sprzeczność czyli f⁻¹ musi być rosnąca drugie identycznie

Ann: Dziękuję!